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本字幕由TME AI技术生成
我们的第一个模块会为大家介绍数学的线索
也就是它从猜想到定理再到应用的整个过程
勾股定理大家都不陌生
它讲的是直角三角形两条直角边的平方之和等于斜边的平方
但是这个定理在国外都被称为毕达哥拉斯定理
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家和知识的集大成者
那么接下来就有两个疑点了
你的中学老师可能在刻意回避
或者说没有讲清楚
而他们又实在是太重要了
第一个疑点
这个定理是否在毕达哥拉斯之前就被发现了呢
我们过去的教科书里面讲
据汉朝的数学书周UNK算经的记载
早在公元前一千年的时候
周公和商高这两个人就谈到了勾三股四弦五
他们的年代比毕达哥拉斯要早
因此教科书中讲是中国人商高最早提出了这个定理的
于是称之为勾股定理或者是商高定理
我们先不说周髀算经里面所记载的是否靠谱啊
就算它是靠谱的
它也只是记载了一组勾股数
它并不能说明发现了其中的规律
因为比周公和商高早一千五百年
古埃及人在建造大金字塔的时候
就已经按照勾股数在设计墓室的尺寸了
如果再往前推
美索不达米亚人早在公元前十八世纪左右就知道了很多组的勾股数
包括勾三
股四弦五
而且留下了实物证据
比如耶鲁大学的博物馆里面
就保存了一块记满勾股数的泥板
接下来就产生了第二个疑点了
那么古埃及和美索不达米亚为什么不去争夺这个定理的发现权呢
简单的讲
这些古代文明不过是举出了一些特例而已
甚至都没有提出假说
我们在后面的课程中会看到
很多时候特例中反映出来的规律和后来真正的定理可能是不同的
所以这种特例就没有什么意义
如果像美索不达米亚人那样
举了很多特例
而且没有发现例外
是否可以认为他们最先发现了这个定理呢
答案还是否定的
因为光举例子还是不够的
还需要做出一个明确的规律性的描述
这种描述我们可以把它称为命题
一个命题在没有被证明之前
只能算是猜想
比如说著名的哥德巴赫猜想
而总结出一个猜想和证明定理依然是两回事儿
当然
这比举几个例子已经近了一大步了
再接下来
猜想该如何被证实呢
在这一点上
数学和自然科学是完全不一样的
那么我们就要说到数学和自然科学的三个本质差别了
这也是这一讲最重要的三个知识点
它们能够帮助我们理解数学特殊的方法和思维方式
或者说了解数学的推理世界和我们真实的测量世界之间的区别
第一个区别就是测量和逻辑推理的区别
我们知道几何学源于古埃及
当地人出于农业生产的考虑
对天文和土地进行度量
发明了几何学
但是度量出来的几何和真正的数学还有很大的差距
比如说古代文明的人们确实观察到勾股数的现象
他们画一个直角三角形
勾三尺长
股四尺长的时候
弦长恰好就是五尺长诶
于是就有了勾三股四弦五这样的说法
但是这里面其实存在一个大问题
我们说长度是三尺
其实这并非数学上准确的长度对吧
用尺子量出来的三
那它可能是三点零一
也有可能是二点九九
这样一来
勾三股四弦五就是一个比较模糊的说法了
为了让你更好的理解这一点
我们不妨看这样一个例子
我在文稿中放了一张图
图中左上方有一个八乘八的方格儿
它的面积是六十四
这个没有疑问对吧
我按照图中所示的粗线把它剪成四个部分
两黄两灰再重新组合
诶
就得到了一个十三乘五的长方形
它的面积是多少啊
六十五了吧
请问这个面积是六十四的正方形
它怎么就重新组合了一下
面积就多出了一
变成六十五了呢
我们当然知道六十四不可能等于六十五
这里面一定是有什么问题的
那问题到底在哪儿呢
其实问题就出在
在拼接的时候
它并不是严丝合缝的
只不过缝隙比较小
大部分人看不出来罢了
在数学上观察的经验可以给我们启发
但是它不能成为我们得到数学结论的依据
数学上的结论只能从定义和公理出发
使用逻辑严格证明得到
而不能通过经验总结出来
讲
回到勾股定理
一个工匠注意到勾三股四弦五这个现象
和提出一个具有普遍意义的定理
这是两回事儿
我们通过观察还可以发现
如果勾三点五
股四点五
那么弦长是多少呢
大约是五点七
这个大约的误差只有万分之一点六左右
古代任何测量都发现不了
那这个时候如果你说勾三点五
股四点五
弦五点七
从物理上来说基本上是正确的
但是在数学上它就错了啊
这是第一个差别
就是测量会出错
但是推理不会
那么如果我们抛开误差的影响
是否可以认为早期文明的人们发现了勾股定理呢
也不能
只能说他们观察到了一些现象
而非发现了定理
这就涉及到数学和自然科学的第二个主要区别
证实和证明的区别了
在自然科学中
一个假说通过实验证实就变成了定律
比如说
与牛顿同时代
英国的大科学家波义耳和法国科学家马略特一同发现
一个密闭容器中气体的压强和体积成反比
啊
这个很好理解对吧
因为体积压得越小
内部的压强肯定越大嘛
这两个人通过很多实验都证实了这件事情
于是这个定律就由他们两个人的名字命名了
但是如果有一个非常爱较真儿的人一定要抬杠说
你们证实了所有的情况吗
你们敢保证没有例外吗
波义耳和马略特肯定会说
我们不敢保证没有例外
但是这个规律你平时用肯定是没有问题的
果然后来人们真的就发现
当压强特别大的时候
这个定律就不管用了
但是没有关系
在大多数条件下
这个定理依然成立
今天人们在做产品的时候依然是可以用的
事实上
今天几乎所有的自然科学的定律和理论
不仅存在一个被推翻的可能性
而且有很多的例外
比如说证实引力波的实验
也只能保证百分之九十九点九九九九的可能性结论是对的
但是在数学上
用实验来验证一个假说是不被允许的
我们在后面介绍无穷大的时候
大家还会看到
这甚至是做不到的
数学的结论只能从逻辑出发
通过归纳或者演绎得出来
它必须是完全正确
没有例外的
因为但凡有一个例外啊
在这儿也被称为反例
就要被完全否定掉
这里面最著名的例子就是哥德巴赫猜想
今天
人们利用计算机
在可以验证的范围之内
都验证了这个猜想是对的
但是因为没有穷尽所有的可能
就不能说这个猜想被证明了
因此我们依然不能在这个基础之上构建其他的数学定理
所以
数学世界和测量世界的第二个区别就是数学理论必须要证明
保证没有例外
那为什么数学要那么严格呢
它的定理为什么就不能有任何的例外呢
更不能特殊情况特殊处理呢
这就涉及到第三个区别了
科学结论的相对性和数学结论的绝对性的区别
因为数学上的每一个定理都是一块基石
后人需要在这个基础上往前走
试图建立一块新的基石
然后数学的大厦就一点点建成了
在这个过程中不能有丝毫的缺陷
一旦有
那整个数学大厦就轰然倒塌了
还是以勾股定理为例
它的确立其实教会了人们在平面计算距离的方法
在这个基础之上
三角学才得以建立
笛卡尔的解析几何才得以确立
再往上才能够建立起微积分等等数学工具
此外
我们这个模块后面会讲到的无理数的出现
黄金分割
跟它都有关系
人类今天发明的各种科技
像无线通信
航天等等
依赖于这些定理
如果出现了一个违反毕达哥拉斯定理的反例
不仅是这个定理失效了
而且整个数学就完蛋了啊
我们的科技也就时灵时不灵了
因此
数学上的每一个定理
必须也只能通过逻辑推演来证明
用多少实例来验证都是没有用的
理解了数学定理确立的过程
以及它随后产生的巨大影响
我们就清楚定理和定理证明在数学中的重要性了
正是因为这个原因
西方才将这个定理命名为毕达哥拉斯定理
以彰显他的贡献
因为是毕达哥拉斯明确提出了这个定理
并且严格地证明了它
从此
毕达哥拉斯定理才成为了数学上普遍的规律
有了一个个的定理
数学就得以建立起来
而且这个建立在逻辑推理基础上的大厦是很坚固的
在数学上
当一个新的定理被证明以后
就会产生很多自然的推论
每一个推论都有可能是一个重大的发现
甚至能够带来人类认识的升级
毕达哥拉斯定理的一个直接推论就是无理数的存在
这个内容我们下一讲再讲
最后总结一下今天的内容
数学和自然科学是不一样的
它不相信测量不是建立在实证基础之上的
而是建立在逻辑基础之上的
数学也不接受大部分情况正确
但是包含例外的定理
这样整个数学大厦的基础才得以稳固
数学定理确立的过程大概是这样的
一开始可能只是大家注意到了几个特例
然后发现很多例证
提出猜想
猜想经过证明就成为了定理
定理会有推论
在此基础上会有新的定理和应用
最后邀请你思考一下
在物理学中
从不同的角度理解光
会得到粒子说和波动说这两种解释
那么数学从两个角度证明一个定理
会不会得到不同的结论呢
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