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数学
人类思想的最高表达
人类进行表达的方式有很多
文字
语言
音乐
舞蹈
道可道
非常道
名可名
非常名
语言和文字有其局限性
而数学是一种抽象表达
比语言和文字更能准确描述这个世界
可以说
只有数学是人类思想的缩影
数学真理不是被发明的
而是被发现的
可以这么想想
有一排数学真理的柜子
人类逐步发现了一个个柜子
打开了一个个柜子
柜子本来就在那里
是不用被发明的
聪明的人
幸运的人能找到那个柜子并打开
找到真理
抽象的数学对象
其存在独立于我们的语言
思想和实践
柏拉图认为
数学的概念是一种特殊的独立于现实世界之外的客观存在
他们是不依赖于时间
空间和人的思维的存在
数学家得到的新的概念不是创造
而是对这种客观存在的描述
数学新成果不是发明
而是发现
与之相应的
柏拉图主义认为
数学理论的真理性就是客观的
由那种独立于现实之外的存在决定的
这种真理性要靠心智经验来理解
靠某种数学直觉来认知
我们只有通过直觉
才能达到独立于现实世界之外的数学世界
微分方程
讲到数学
不得不提微分方程
让我们从方程开始
比如二x 等于十
豪解的x 等于五
我现在有十个苹果
每个人只能吃两个
最多可以给几个人吃呢
五个人
现有十辆车
要分给两个人
每个人分五辆
二x 等于十可以代表好多东西
二x 加三y 等于十也可以具象化
我有十块钱
买了两个鸡蛋
买了三个鸭蛋
Xy 就是鸡蛋和鸭蛋的单价
但这个无解
解不出来
如果你告诉我鸭蛋的单价加鸡蛋的单价加起来等于四块钱
也就是有等式x 加y 等于四
我就能解了
有几个未知数
就必须有几个等式才能解
数学等式代表了很多东西
可以具象到很多事情上
所以数学表达比较高级
具有抽象性和概括性
这也是我们讲它是一种高级表达的原因
简单方程式的变量是一个数
再复杂一些
变量就变成一个函数
当函数成为变量
方程就变得复杂了
复杂的事情需要复杂的方程来描述
这就是微分方程了
微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式
解微分方程就是找出未知函数来
物质的运动和它的变化规律
在数学上是用函数关系来描述的
这类问题不是简单的去求一个或者几个固定不变的数值
而是要求一个或者几个未知的函数
要把已知函数和未知函数之间的关系找出来
从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去寻得未知函数的表达式
可以说
微分方程是整个宇宙的同式
力学
天文学
几何学
动力学
海洋动力学
地下水动力学这些领域都要用到微分方程
人口的发展模型
交通流的模型
台风的模型
潜艇出水漩涡模型一定要用到微分方程
否则描绘不了
比如要测算火箭降落的位置
有气流
有湿度
有动力
有重量
有引力
有太多因素了
没可能用简单的方程来描述计算
一定是用微分方程
微分方程是与人类社会密切相关的
可以说是人类社会天体微观世界的表达同式
举一个非常重要的偏微分方程的例子
麦克斯韦方程组
这是一组描述电场
磁场与电荷密度
电流密度之间关系的偏微分方程
由四个方程组成
从麦克斯韦方程组可以推论出电磁波在真空中以光速传播
进而做出光是电磁波的猜想
从这些基础方程的相关理论发展出现代的电力科技与电子科技
由此可见
微分方程是非常重要的数学工具
从微观到宏观
你要去真实准确的描述一个东西
描述我们的世界
必须用到微分方程
许多物理或是化学的基本定律都可以写成微分方程的形式
在生物学及经济学中
微分方程会被用来做复杂系统的数学模型
有时候两个截然不同的科学领域中会有相同的微分方程
此时通过微分方程对应的数学理论
可以看到不同现象后面一致的原则
微分方程的解也很有意思
首先
微分方程一般没有通解
第二
微分方程可以有无数个解
第三
大部分的微分方程求不出十分准确的解
只能得到近似解
一个描绘弹道出水情况的方程得不出准确的解
因为太复杂了
变量太多了
一般怎么求解
一般用数值分析的方法来求近似解
有微分方程的解
我们可以有如下推断
一
由无通解可以推断
在我们可以感知的世界里
不存在绝对真理
人类世界没有一个真理是绝对的
二
由无数个解可以推断
这个宇宙是变在的
量子力学也是讲变在的
正像广义相对论的方程式可以有无数解
也就是可能存在无数宇宙
宇宙也是变在的
通向真理的道路也不是唯一的
条条道路通山顶
有八万四千法门
就有八万四千条道路带我们到达光明地
三
由近似解可以推断
我们对世界的认识是不是也是近似的
许多我们非常确定的观念和认知
其实也是一种近似似
微分方程在某些区域是无解的
微分方程只能在某些点收敛
在某些点可以有解
很多区域为什么无解
是真的不可解吗
还是跟暗物质
暗能量
黑洞一样
是我们无法感知的
或者这些大面积的不可解就是我们人类认知的边界
如果说微分方程是一个描述宇宙里大部分事物的通式
那么它的这些规律实际上构成了宇宙的规律
作为人类
我们跟其他动物没有太大差别
我们对世界的认识是一知半解
近似界
人应该存敬畏之心
真正悟道的人没有多少
很多自以为是的大师
宗师
大牢权威
如果明白这些道理
该会心存敬畏之心
也就能往前走得更远
牢记
我们所认识到的真理是片面的
局限的
相对的