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第二十四章希腊早期的数学与天文学
我在本章里要讨论的是
数学
并不是由于数学本身的缘故
而是因为它与希腊哲学有关系
有着一种尤其是在柏拉图的思想里非常密切的关系
希腊人的卓越性表现在数学和天文学方面的要比在任何别的东西上面更为明显
希腊人在艺术
文学和哲学方面的成就
其是好是坏
可以依据个人的口味来评判
但是他们在几何学上的成就却是无可疑问的
他们从埃及得到了一些东西
从巴比伦那里得到的则很少
而且他们从这些来源所获得的东西
在数学方面主要的是粗糙的经验
在天文学方面则是为期非常悠久的观察记录
数学的证明方法则几乎是完全起源于希腊
有许多非常有趣的故事
或许并没有历史的真实性可以表明是哪些实际问题刺激了数学的研究
最早的最简单的故事是关于泰勒斯的传说他在埃及的时候
国王曾要他求出一个金字塔的高度
他等到太阳照出来
他自己影子的长度与他的身高相等的时候
就去测量金字塔的影子
据说这个影子当然就等于金字塔的高度
据说透视定律最初是几何学家阿加塔库斯为了给伊斯齐鲁斯的戏剧化布景而加以研究的
传说是被泰勒斯所研究过的
求一只船在海上的距离的问题
在很早的阶级就已经很正确的解决了
希腊几何学所关心的大问题之一
即把一个立方体增加一倍的问题
据说是起源于某处神殿里的祭司们神谕告诉他们说
神要的一座雕像比他们原有的那座大一倍
最初他们只是想到把原像的尺寸增加一倍
但是后来他们才认识到
结果就要比原像大八倍
这比神所要求的要更费钱的多
于是他们就派遣一个使者去见柏拉图
请教他的学园里有没有人能解决这个问题
几何学家们接受了这个问题
钻圆了许多世界
并且附带的产生出了许多可惊可叹的成果
这个问题当然也就是求二的立方根的问题
二的立方根是一个有待发现的无理数
这一无理数是早期的毕达哥拉斯派就已经知道了的
并且还发现过种种巧妙的方法来求它的近似值
最好的方法如下
假设有两列数字
我们称之为a列和b列
每一列都是从一开始
每下一步的a都是由已经得到的最后的a和b相加而成
下一个b则是由两倍的前一个a再加上前一个b而构成
这样所得到的最初六对数目就是一一
二 三
五 七十
二十七
二十九
四十一
七十 九十九
在每一对数目里
二
a的二次方减b的二次方都是一
或者是负一
于是b除以a
就差不多是二的平方根
而且每下一步都越发的与之接近
例如
读者们将会满意的发现
九十九除以七十的平方
是非常之接近与与二相等的
普洛克鲁斯描述过毕达哥拉斯
此人永远是个颇为朦胧的人物
乃是第一个把几何学当做一种学艺的人
许多的权威学者
包括汤姆斯西斯爵士在内
都相信毕达哥拉斯或许曾发现过那个以他名字命名的定理
那个定理是说
在一个直角三角形中
弦的平方等于两加边的平方之和
无论如何
这个定理是在很早的时期就被毕达哥拉斯派所知道了
他们也知道
三角形的内角之和等于两个直角除了二的平方根之外
其他的无理数在特殊的例子里
也曾被苏格拉底同时代的迪奥多罗斯研究过
并且曾以更为普遍的方式被与柏拉图大致同时而稍早的泰阿泰德研究过
德莫克里特写过一篇关于无理数的论文
但是文章的内容我们已不大知道了
柏拉图对这个题目是深感兴趣的
他在以泰阿泰德命名的那篇对话里提过了迪奥多罗斯和泰阿泰德的作品
在法律篇中
他说过
一般人对这个题目的愚昧无知是很不光彩的
并且还暗示着他自己之开始知道他
也是很晚的事情
他当然对于毕达哥拉斯派的哲学有着重要的关系
发现了无理数的最重要的后果之一
就是优多索克约当公元前四零八年到公元前三五五年发明的关于比例的几何理论
在他以前
只有关于比例的算术理论
按照这种理论
如果a乘d等于b乘c
则a比b就等于c比d
这种界说在还没有有关无理数的几何理论时
就只能应用于有理数
然而
尤多克索提出了一个不受这种限制的新界说
其构造的方式暗示了近代的分析方法
这一理论在欧几里得的书里得到了发展
并具有极大的逻辑美
尤多克索还发明了或者是完成了穷尽法
他后来被阿基米德运用的非常成功
这种方法是对积分学的一种预见
譬如
我们可以举圆的面积问题为例
你可以内接于一个圆而做出一个正六边形或一个正十二边形
或者一个正一千边或一百万边的多边形
这样一个多边形
无论它有多少边
其面积是以圆的直径的平方成正比的
这个多边形的边越多
则它也就越接近于与圆相等
你可以证明
只要你能使这一多边形有足够多的边
就可以使它的面积以原面积之差小于任何预先指定的面积
无论这一预先指定的面积是多么的小
为了这个目的
就引用了阿基米德公理
这一公里多少加以简化之后
是说
假设有两个数量
把较大的一个平分为两半
把一半再分为两半
如此继续下去
则最后就会得到一个数量要小于原来的两个数量中较小的那一个
换句话说
如果a大于b
则必有某一个整数n可以使二的n次方乘以b大于a
穷尽法有时候可以得出精确的结果
例如阿基米德所做的求抛物线形的面积
有时候则只能得出不断的近似
例如
当我们企图求圆的面积的时候
求圆的面积的问题
也就是决定圆周与直径的比率问题
这个比率叫做派
阿基米德在计算中使用了二十二除以七的近似值
它做了内界的与外切的正九十六边形
从而证明了派小于三又七分之一并大于三又七十一分之十这种方法可以继续进行到任何所需要的近似程度
并且
这就是任何方法在这个问题上所能尽的一切能事了
使用内接的与外切多边形以求派的近似值
应该上溯到苏格拉底同时代的人
安提峰