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goody一by
物理学的全面胜利
离不开数学的帮助
数学与物理的紧密结合是至关重要的
特别是在现代物理学中
因为物理是用数学的语言来表达和描述的
实际上
物理学看起来已经变成了另一门数学
它是披着物理定律外衣的数学
数学在物理学领域得到了最广泛
最有效的应用
嗯
数学是人类理智的骄傲和伟大创造
数学真理是不朽的
虽然后来美国及奥地利裔逻辑学家哥德尔证明了数学形式系统不能同时具备一致性和完备性
这就是哥德尔不完全性定理
但是
这并不妨碍数学真理的不朽和效力
嗯
哥德尔定理的证明比较复杂
但他的基本思想类似于说谎者悖论
总之
数学系统如果具备了一致性
就不能具有完备性
反之亦然
也就是说
总有一个命题的真假是无法从数学的公理体系中推导出来的
这是不具备完备性
又或者
从公理系统出发
总能推导出一个命题
既真又假
即既可以推出真命题
也可以推出假命题
二者都成立
这就是不具备一致性
数学是关于模式的科学
而不仅仅是关于数与形
它是一种高度的抽象
是将客观世界里的种种模式和变化进行高度的抽象
有一些内容可以在客观世界里找到对应物
而还有一些内容在客观世界里没有对应物
仅仅存在于人类的理智中
数学是一种语言
自然这本书是由数学语言写成的
因此
研究自然的一切自然科学也是用数学语言写成的
既然数学是一种语言
那么我们就必须掌握这门语言
否则就看不懂自然这本书
就如同你不懂英语就看不懂英文书一样
如果你学过一点英语
那么虽然你能看懂书中的个别词语
个别句子甚至段落
但不可能看懂整本书
并且也不能保证没有误解书中的意思
同理
对数学这门语言也一样
如果没有掌握
就不可能正确理解自然这本书
论复杂程度和内容
数学这门语言的复杂程度和内容远远超越了任何一门语言
数学的任何一个分支和领域都足以耗掉一个人的一生
我们只能采取实用主义的态度
把它当成工具来使用
而不需要强求自己什么都懂
数学对一一个人说
不仅仅仅是知识
重要要的是一种理性思维方式
数学的的世界里
允许想象和创造
允许直觉
但最重要的是仰仗严格的理性思考和逻辑推理
很多哲学家都认为
数学真理是鲜艳的
数学是一种伟大的同义反复
它可以从已知的公理中通过演绎推理出一整套定理和各种推论
既然数学是一门语言
那么它就有自己的语法规则
符号表达和读音
当然
如同一切语言那样
其中的符号表达和读音
包括各种定理的命名
都是一种约定俗成
是任意的
我们可以采用希腊字母
也可以采用中文汉字
还可以自己发明各种符号
而不需要考虑好看不好看
打个比方
我们现在所使用的数学概念的语言表达
比如复数
偏微分
共形
映射之类
其实不过是一种命名
一种约定俗成
方便我们谈论它罢了
我们也可以将微积分命名为牛顿和莱布尼茨的流变术
只是有点长而已
但是
数学的语法规则却是不能任意改动的
是我们必须遵循的
那么
既然数学是一门语言
我们能不能将它翻译过来呢
翻译成我们看得懂的语言
比如中文
这样我们学习起来就更加容易了
从原则上说
这样是可以的
但实际上是不可能的
为什么呢 啊
首先
数学语言的符号表达和约定俗成是高度简练的
每一个符号
每一个概念
虽从外表看来很简单
但其中包含着严格的定义和证明
包含着大量的信息
也就是说
数学表达是用最精简的方式表达出了最丰富最准确的信息
如果将它翻译成任何一门人类语言
比如中文
那么这个篇幅就太大了
用数学方式表达的一小段内容
也许完全翻译成中文就得有几十页甚至上百页
此外
数学表达是高度精确化的
是非常严格的
容不得半点歧义
因为它表达的是客观世界中严格精确的量化关系和图形特征
各种复杂的变化和模式
可是
如果用日常语言来表达
就不可能做到这点
我们所使用的日常语言是有歧义的
而且没有一个词语可以完全准确反映数学中的概念
日常语言的表达
其逻辑关系和语法规则也同样不能精确反映数学推理的过程
从逻辑主义的观点来看
日常语言无法真正表达数学
因此
数学是不能够翻译成任何一门人类日常语言的
我们要理解自然这本天书
就要学懂数学这门上帝的语言
牛顿最重要的功绩就是发现了万有引力定律
正是这一点
天与地被统一起来了
世间万物被证明都受到同一种力的作用
我们人类的自信心得到了大幅度的提高
因为我们发现
凭着理性就可以一窥上帝造势的奥秘
万有引力定律是牛顿发现的最重要定律
但是
牛顿除了告诉我们
世间万物都存在一种相互吸引的作用力
并给出了数学公式之外
其他什么也没有说
万有引力的本质是什么
牛顿没有说
万有引力为什么是一个平方反比的数量关系
牛顿也没有说
而且
牛顿的万有引力定律还有一个问题
那就是超距作用
牛顿所发现的引力是瞬间的
超巨的
没有任何时间延迟
只要存在两个有质量的物体
无论相隔多远
马上就能发生相互作用
后来
爱因斯坦提出了一个关于引力的新理论
提供了新的解释
并解决了超距作用的问题
这就是广义相对论
实际上
牛顿的万有引力定律是一个操作性的定律
引力本身也是一个操作性的定义
或者称之为操作主义
操作主义是指一个概念
定义 物理量
我们只要能够将它量化
能够使用数学工具来计算
能够对其进行操作
能够做实验来验证
那就够了
管用就行
我们不需要考虑这个概念或者物理量的本质是什么
重要的是能够操作
能够进行计算就可以了
万有引力的本质是什么
为什么会是这样一种数量关系
我们不知道
也没必要知道
在物理学中
存在大量的操作性定义和概念
实际上
从某种意义上来说
科学就是操作主义的
而不是本质主义的
本质是什么
这是哲学家们该去操心的事情
而科学家只管做实验以及提出理论假说
在牛顿之后
许多人对牛顿的理论做了丰富
补充和发展的工作
比如拉格朗日
哈密尔顿
拉普拉斯等
在他们的努力下
牛顿物理学越来越完善
最后形成了经典物理学范式
经典物理学统治了世界两百多年
直到二十世纪才被以爱因斯坦的相对论和量子力学为代表的新物理学超越