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首先让我们来揣摩下三维动量矢量
如图示意
箭头表明当球在桌子上滚动时
它移动的量
更准确的说
假设中午的某个时刻
球在箭头的一头
两秒后运动到了箭头的另一头
如果球每秒移动一厘米
则箭头长度为两厘米
那么我们很容易得到动量矢量
他同样用箭头来表示方向
与图十一中箭头的指向完全相同
长度等于球的速度
在这个例子中是一厘米每秒乘以球的质量
进一步
假定球的质量为十克
那么物理学家会算出球的动量矢量的长度为十克厘米每秒
我们会把这个动量缩写为十克厘米每秒
这样
我们引入了更抽象的变量来替代特定的质量和速度
当然
我们不会变成学校里的数学老师
不过
如果用德尔塔x等于两厘米
德尔塔t等于两秒
m等于十刻
那么动量矢量的长度就可以简单的表示为m德尔塔x除以德尔塔t
在物理学中
希腊符号德尔塔是很常见的
用来表示差
例如德尔塔t代表时间上的差值或两个事物之间的时间间隔
德尔塔x代表物体的长度差
对于现在讨论的问题
它代表球始末位置之间的空间距离
在三维空间中
成功构建球的动量矢量还不是最令人兴奋的事
让我们勇往直前
去构建一个时空动量矢量
那才叫刺激
构建时空四维动量的方法类似于三维情况中的方法
唯一需要保证的是
这个新的量必须是一个时空不变量
我们从四维时空箭头出发
如图十二所示
箭头的一端表示某一时刻球的位置
箭头前端表示一段时间后球的位置
箭头的长度由敏可夫斯基的时空距离公式
即德尔塔x的平方等于c
德尔塔t的平方减德尔塔x的平方来确定
请注意
德尔塔s是普遍的长度
对每个人来说是唯一的
德尔塔x或德尔塔t绝对不是这样
因此
在定义时空动量时
必须使用德尔塔s来替代德尔塔x
那么
用什么来代替时间间隔德尔塔t呢
请不要忘记
我们现在所做的事情是定义四维动量来代替m德尔塔x除以德尔塔t
问题的关键是
德尔塔t不是时空不变量
它随观察者的变化而改变
不适用于四维动量的定义
我们不能使用它
该怎么办呢
若不使用德尔塔t
我们该采用什么方式划分时间箭头
并确定球的时空速度呢
四维动量要优先于三维动量
同时
在物体的速度远小于光速时
旧的动量与新的动量应近似相等
因此
在构造四维动量时
必须用时空箭头长度除以一个与时间间隔类似的量
否则新的四维动量将与三维动量出入太大
不能满足近似关系
因为时间间隔的单位是秒
我们寻找的物理量的单位应该也是秒
从时空不变量光速和速度德尔塔s可以看出
只有一种组合的单位是秒
即箭头的长度德尔塔s除以速度c
因为德尔塔s以米为单位
速度c以米每秒为单位
所以德尔塔s除以c以秒为单位
我不要
德尔塔s除以c一定就是我们需要的那个类似时间间隔的量
我们别无选择
它是唯一具有秒的单位
我们继续把德尔塔s除以时间
德尔塔s除以c
答案很简单
是c
这里的数学计算类似于一除以二分之一等于二
换言之
在四维时空中
宇宙上限速度c
类似于三维时空动量公式中的速度
我们对此应该很熟悉
这并不奇怪
我们所做的只是计算了一个物体
在我们的例子中是一个球在时空中的速度
发现它是c
上一章中
在考虑摩托车手在时空景观上运动时
我们得出了完全相同的结论
本章我们做了更多的工作
我们发现了一个时空速度矢量
物体在时空中运动时
它的速度
长度总是c
方向指向它在时空中运动的方向
这一速度将用于四维动量的定义
将时空速度乘以质量m
得到一个长度总是等于MC
方向指向物体在时空中运动方向的矢量
我们就完成新的时空动量箭头的构造
乍一看
这个新动量有些单一
它在时空中的长度一成不变
看起来
我们似乎什么都没做
请不要动摇
我们还不清楚刚刚构造的时空动量与三维动量的任何关系
这一关系是否对新时空观有用
还有待考察
我们现在观察一下新的时空动量的时间方向分量和空间方向分量
以便更深入研究这一问题
我们需要一点数学知识
这不可避免
我们向不懂数学的读者表示歉意
我们保证放慢脚步
请记住
略读公式得到精华永远是一个不错的选择
虽然数学论证更具有说服力
但不必去抠它的细枝末节
对熟悉数学的读者来说
反复强调这一点有些不厌其烦
我们同样表示歉意
曼彻斯特有句俗语
你不能同时拥有和享用一个蛋糕
这句俗语也许比数学更难理解
回顾一下
我们得到了三维空间中动量矢量长度的表达式
m
德尔塔x除以德尔塔t
我们通过德尔塔s取代德尔塔x
德尔塔s除以c取代德尔塔t构建了四维动量矢量
它的长度是MC
一个相当有趣的量
让我能再多写一段
完整的写下德尔塔s除以c这个替代德尔塔t的量
即德尔塔s除以c等于c德尔塔t平方减德尔塔x平方的平方根除以c
这个表达式有些繁琐
不过稍加处理就会简单很多
即把它表示为德尔塔t除以伽马
其中伽马等于一除以一减v平方除以c平方的平方根
在推导中我们用到了v等于德尔塔x除以德尔塔t
也就是物体速度的表达式
伽马不是别的
正是我们在第三章中遇到过的量
它是表示运动时钟时间变慢的量
我们已接近目标
这段数学推导的重要性在于
它能让我们精确的计算出动量矢量的时间分量和空间分量
首先我们回顾下下维空间动量矢量的处理方法
法图图十一所示
维动量与球运动的方向相同
指向图中箭头的方向向
但长度球的运动不同
它是由运动的距离乘以球的质量再除以时间间隔得到的
四维动量与之完全相似
它指向球运动的时空方向
也就是图十二中箭头的方向
同样
为了得到动量
我们需要缩放箭头的长度
但是这次我们要乘以质量的同时除以不变量德尔塔s除以c
如上一段中所示
德尔塔s除以c等于德尔塔t除以伽马
仔细观察图十二的箭头
可以看到
若在保持箭头方向不变的情况下
改变些许长度
那么需要在x方向简单改变德尔塔x
在时间方向改变c德尔塔t
同时保持该变量相同
所以
动量矢量中指向空间方向部分的长度就是德尔塔x乘以m除以德尔塔t除以伽马
可以写成伽马m
德尔塔x除以德尔塔t
再由v等于德尔塔除以德尔塔t是物体体通用空间的速度
我们得到答案
动量时空矢量的空间分量长度等于伽马MV
此外
我们构造的时空动量一点也不单调乏味
反而很有趣
如果物体的速度v远小于光速
那么伽马非常接近一
我们从新动量到旧动量
p等于MV
质量与速度的乘积
这很鼓舞人心
让我们乘胜追击
事实上
我们所做的远不止是将旧的动量转换成新的思维形式
首先
我们得到了一个更精确的公式
因为当速度为零时
伽马精确的等于一
思考四维动量的时间分量
将比修正p等于MV更有趣
有了以上的努力
计算这个时间分量就变得更简单了
图十三给出了答案
四维动量的时间分量的长度等于c德尔塔t乘以m再除以德尔塔t除以伽马
即伽马MC
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