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本字幕由TME AI技术生成
平移和旋转一童话开片
探险小队来到一个奇特的机械迷宫
迷宫的墙壁不停的在移动
有的墙壁整体向上滑动
有的墙壁绕着中心的轴旋转
还有的墙壁反复左右平移
整个迷宫就像一个巨大的几何变换实验室
这里太酷了
小溪兴奋的环顾四周
但我们要怎么通过
阿星观察了一会儿
发现了规律
你们看
每面墙上都有一个按钮
按下按钮
墙壁就会做一种动作
有的平移
有的旋转
有的反射
我们只要理解这些动作的规律
就能预测墙壁的移动路径
猫头鹰博士落在阿星尖上
没错
平移 旋转 反射
这是几何变换的三大基本操作
它们在数学中有一个共同的名字
刚体变换
意思是图形只改变位置或方向
不改变形状和大小
来吧
让我们用几何知识征服这座迷宫
二 现象观察
博士在迷宫入口处的地面上画了一个三角形
先看平移
博士把三角形整体向右移动了一段距离
三角形本身没有任何改变
平移就是图形沿着直线方向滑过去
方向不变
大小不变
形状不变
只是位置变了
在数学里
平移可以用向量来表示
向右移动五个单位
向上移动三个单位
记为五到三的开区间
再看旋转
博士以三角形的一个顶点为圆心
把三角形转了九十度
旋转就是图形绕着一个固定点转动
转动的角度叫旋转角
旋转不改变图形的大小和形状
只改变方向
在坐标平面里绕原点逆时针旋转九十度
点x 到y 的开区间会变成负y 到x 的开区间
最后看反射
博士以一条线为对称轴
把三角形翻了过去
反射也叫轴对称
图形被一条对称轴翻到另一侧
反射后图形到对称轴的距离不变
反射是最基本的对称操作
嗯
阿星快速记下三种变换的共同特点
保持图形的形状和大小不变
只改变位置或朝向
三 原理拆解
博士继续深入讲解
这三种变换在坐标平面上都有精确的数学表达
平移点x 到y 的开区间平移
A 到b 的开区间得到x 加ay 加b
平移不改变图形的任何属性
只是整体移动
地图的平移
电梯的升降
传送带的运输都是平移和旋转
原点逆时针旋转角度
贝塔点x 到y 的开区间变为x cos data y sin 西塔
X sin 西塔加y cos dta
旋转九十度时
Cos 九十度等于零
Sin 九十度等于
所以以x 到y 的开区间变为负y 到x 的开区间
旋转一百八十度时变为负x 到负y 的开区间
就是中心对称
齿轮的转动
门的开合
风扇的旋转
都是旋转反射
关于y 轴反射
X 到y 的开区间变为负x 到y 的开区间
关于x 轴反射
X 到y 的开区间变为x 到负y 的开区间
关于原点反射
就是旋转一百八十度
即负x 到负y 的开区间
小溪举手提问
这些变换可以组合吗
比如先平移再旋转
好问题
博士说
变换可以叠加
先平移和旋转结果一般和先旋转再平移不同
变换的叠加在机器人运动控制
计算机图形学中都有重要应用
四
安全居家实验
嗯 材料 方格纸
直尺 量角器
剪刀 硬纸板
图钉
实验一
平移作图一要在方格纸上画一个三角形
顶点坐标记下来
三
把三角形向右平移五格
向上平移三格
画出新位置
三
验证每个顶点是不是都移动了
五到三的开区间形状和大小变了吗
实验二
旋转作图
一要在方格纸上画一个长方形
标出旋转中心
一要用半透明纸描下长方形
用图钉定住旋转中心
三
把纸旋转九十度
一百八十度
二百七十度
观察旋转后的形状
实验三
反射作图
一要画一条对称轴直线和一个三角形
二
用镜子立在对称轴上
镜中的像就是反射后的位置
三
在纸上画出反射后的三角形
量一量每个点到对称轴的距离
和对应点到对称轴的距离相等吗
实验四
变换组合
一
画一个箭头朝右的图形
二
先向右平移三格
再绕中心旋转九十度
三 换个顺序
先旋转九十度
再平移三格
结果一样吗
五 趣味闯关
第一关 点a
二到三的开区间向上平移四个单位
新坐标是什么
答案
二到七的开区间
第二关 点b
五到零的开区间绕原点逆时针旋转九十度
新坐标是什么
答案
零到五的开区间
第三关
点c
四到二的开区间关于y 轴反射后
新坐标是负四到二的开区间
如果关于x 轴反射呢
答案
四到负二的开区间
第四关
正方形绕中心旋转多少度能和原来的位置重合
答案 九十度
一百八十度
二百七十度
三六 零度
正方形有四节旋转对称
第五关
先向右平移三格再绕原点逆时针旋转九十度与先旋转九十度再向右平移三格
结果是否相同
请思考
为什么不一致
答案不同
旋转改变了方向
向右的意义在旋转前后不一样了
六 温和总结
在博士的指导下
阿星和小溪顺利通过了机械迷宫
阿星按下最后一个按钮
迷宫的大门轰然打开
外面是一望无际的蓝天
你们做的很好
博士说
平移 旋转
反射这三种变换不仅是几何学的基础
也是理解整个物理世界的关键
天上的行星在旋转
天上的汽车在平移
水面的倒影是反射
宇宙中的一切运动都可以用这三种基本变换来描述
小西感慨道
原来数学不只是纸上的算式
它是描述世界运动的语言
嗯
阿星收起指南针
掌握了变换的规律
我们就能预测物体的位置
规划路径
设计机器
走吧
下一个谜题在等着我们
亲爱的小读者
平移和旋转是你理解空间关系的两把钥匙
下次看到物体移动时想一想
这是平移还旋旋转
或者两者都有
小贴士
方格纸是学习坐标和变换的最佳工具
可以在网上下载打印一些方格纸
和孩子一起画图做变换练习