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同学们
这一节课
我们一起来学习证明举例
我们先来了解一下这一节课的学习目标
一
掌握几何证明的基本方法
学会分析推理论证
强调每一步推理言必有据
第二
运用学过的平行线判定及性质
全等三角形判定性质
等腰三角形的判定性质等进行正确的推理论证
好
我们来回顾一下前面所学的知识
两条直线被第三条直线所截
得到了八个角
那么在这八个角中
它们属于什么呢
图中的角五的同位角是角二
角三与角六是一对内错角
图中的同旁内角有哪些呢
同旁内角有角三和角五
角四和角六
大家看一下
在图中
因为AB平行于CD
我们可以得到角b等于哪一个角呢
等于角五
理由是两直线平行
同位角相等
由AB平行CD
我们还可以得到角二等于哪个角呢
可以等于角四
理由是两直线平行
内错角相等
我们再来看一下
如果给出因为AD平行于BC
我们可以得到角b加哪一个角等于一百八十度
AD和BC平行
角b加角BAD等于一百八十度
理由是两直线平行
同旁内角互补
再看因为角一等于什么
注意
是这一个角了
角一等于什么
可以得到AB平行于BC
那么角一的另外一条边是这一条边
所以是角一等于角三的时候
AD平行于BC
理由是内错角相等
两直线平行
我们再来看一下
因为角b加哪一个角等于一百八十度
可以得到AB平行于CD
那么很明显的是
加上这个角BCD等于一百八十度的时候
这两条直线平行
理由是同旁内角互补
两直线平行
第五
角五等于哪一个角
可以得到AB平行于CD
那么明显的
角五等于角b的时候
AB平行于CD
理由是同位角相等
两直线平行
我们继续来看如图
a平行于bb平行于c
我们可以得到哪两条直线平行呢
很显然
可以得到a平行于c
理由是平行于同一条直线的两条直线也平行
这个我们通常把它称为是平行线的传递性
想一想
依据学过的哪些方法可以证明两条直线平行
两条直线平行我们学过哪一些判定的方法
首先
平行线的判定定理有三个
同位角相等
两直线平行
内错角相等
两直线平行
同旁内角互补
两直线平行
再加上刚才讲的平行线的传递性
平行于同一条直线的两条直线也平行
下面我们看一个例题
已知如图
AB平行于CD
角b加角d等于一百八十度
要证明的是CB平行于DE
注意
这里知道AB平行于CD
要证明这两条平行
我们看一下怎么样证明呢
要证明CD平行于DE
我们可以证明角c加角d等于一百八十度
而题目里面有条件是角b加角d等于一百八十度
我们能否证明出角c和角b相等呢
如果角b等于角c的话
那么我们可以用角c代替已知条件的角b
就可以得到角c加角d等于一百八十度了
由题目给的条件AB平行于CD的
我们就可以得到角b等于角c
所以这个是能够证出来的
我们看一下
要证明CE平行于DE
我们只要证明角c加角d等于一百八十度就可以了
就已知角d加角d等于一百八十度
所以我们只要证明角c和角d相等就可以了
而角b等于角c可以由条件AB平行于CD这个条件得到
所以这样我们就可以能够把它证出来
这个题我们主要是分析它的证明思路
证明的过程我们就不写了
再看这一道题和刚才的题有什么区别
已知如图
CD平行于DE
现在知道CD和DE是平行的
还知道角d加角d等于一百八十度
求证AB平行于BE
大家发现这一道题和前面的题的区别没有
前面的题是已知CD平行AB
求证CD平行于DE
现在换了一下
已知CD平行于DE
怎么样证明DC平行于AB呢
我们来看
要证明AB和CD平行
我们只要证明角b和角c相等就可以了
用内错角相等
两直线平行
而题目给的条件是角d加角d等于一百八十度
所以我们只要证出角c加角d等于一百八十度就可以了
角c加角d等于一百八十度能证吗
题目给了CD和DE平行的这个已知条件
根据两直线平行
同旁内角互补
我们就可以得到角c加角d等于一百八十度
所以这个题我们就能够把它证出来
大家再看一下例二
已知如图
点DEF分别是ACABBC上的点
DF平行AB
角DFE等于角a
要求证EF平行于AC
要证这两条直线平行
我们看一下题目给的条件
有DF平行于AB这一条边
和这一条边是平行的
要求证
还给出了角DFE这一个角和角a相等
要证明EF和AC平行
要证EF和AC平行
我们只要证明角a等于角DEF就可以了
如果这两个角相等
就可以用同位角相等
两直线平行
而题目给的条件里面有角DFE是等于角a的
那么我们只要证明说角DF一等于角BEF就可以了
而这两个角相等
我们能证吗
由题目各一个条件
AB和DEF是平行的
我们就可以得到内错角相等
所以也就能够证明出来
这一道题有多种证法
这是其中一种
我们再看第二种证法
题目还是一样的题目
只是证明的思路不一样
要证明EF平行于AC
那么刚才是从这边证的
那我们换过这边来
那只要证明角DFE等于角FDC就可以了
只要证这两个角相等
内错角相等
两直线平行
又已知角DFE是等于角a的
那么只要证明出角a等于角FDC就可以了
角a等于角FDC
而这个由题目给的条件DF平行于AD是可以证得的
所以刚才我们是从这边来证可以
现在从这边来证也可以
用的都是内错角相等
两直线平行
那么这一道题我们还可以通过同旁内角互部
两直线平行来证明
我们来看一下
要证明EF平行AC
我们可以证明角a加上角AEF等于一百八十度
这两个角互补
也可以得到这两条直线平行
那怎么样证这两个角互补呢
因为题目给出了角a等于角DFE
那么我们只要证出角DFE加上角AEF等于一百八十度就可以了
所以呢
而这个两个角相加等于一百八十度
题目有条件AB平行于DF
两直线平行
同旁内角互补
所以用角a和它相等
一大换以后就得到角a加角AFE等于一百八十度
这两条直线就互相平行了
那么这里我们用同旁内角互补两直线平行
也可以证明这两条直线平行
其实上这一道题还有其他的思路
通过这一边来也是可以的
同学们可以思考一下
好
我们来看一下练习
如图
已知点CD在AB上
AC等于BDDF平行于EC
这两条边是平行的
DF还DF还等于c
说明这两条边不仅是平行的
而且还是相等的
要求证角一等于角f
可以怎么样证明呢
我们看一下
因为AC和BD相等
所以它们都加上公共的部分CD以后
就可以得到AD和BC相等
因为AD就是AD等于BC了
因为DF平行于CE
我们可以得到两直线平行
内错角相等
得到角一等于角二
这样三角形AFD和三角形BEC就全等了
理由是BF等于c一
角二等于角一
AD等于BC
边角边
可以证得这两个三角形全等
全等以后就有对应角相等
所以角一等于角f
那这一道题的思路是什么呢
证明角一等于角f
我们就证上面这个三角形和下面这个三角形全等
那从题目给的条件看
有什么条件
DF和c一相等
一左边相等已经有了
还给出了AC平行BDACBD不是这个三角形的边
但是他们只要加上CD这一半以后
就可以得到AD等于BC
这样就得两组边相等了
那么因为平行
我们还可以得到角内坐角相等
从而就得到边角边来证这两个三角形全等
得到对应角相等
再看下一题
如图
已知点d在线段AB上
d在线段AB上
CBDE这两条线都垂直于AB
而且AD是等于BC的
DE是等于AB的
求证叫ACE这一个角等于角AEC这一个角
要证这两个角相等
这两个角是在同一个三角形内的
那么我们可以用等边对等角
我们只要设法证出a一等于AC就可以了
那怎么样证这两条线段相等呢
从图形的观察
我们注意到
其实上我们可以证明三角形ADE和三角形ABC全等
这两个三角形全等
注意一下
这两个三角形缺德
大家看有哪些条件
首先
很明显看到有一个直角相等了
另外
题目给了的条件有AD等于BCAD等于BC
一条直角边相等
BE等于AB
另外一条直角边也相等
那么我们可以用边角边证出这两个三角形全等
看一下书写的过程证明
因为CB垂直于ABDE也垂直于AB
所以呢
这两个角和九十度有垂足的定义
那么在三角形ABC和三角形EDB中呢
CB是等于AD的
这是题目给的条件
角CBA等于角ADE
我们已经证出来了
等于九十度
AB等于DE是题目给的已知条件
所以呢
根据边角边就可以证出这两个三角形是全等的
从而得到AC等于AE
全等三角形的对应边相等
从而得到根据等边对等角
就可以得到这两个角相等
已知如图
BE等于CF
角ACB等于角df
一
AC等于DF
求证
AB平行于DE
要证这两条直线平行
我们应该考虑到用同位角相等
两直线平行
那么能得这两个角相等吗
怎么得呢
根据题目给的条件
BE等于CF
角ACB等于角DFE
一主角相等
AC等于DF
那我们其实上是可以考虑证明三角形ABC全等于三角形BEF的
由BE等于CF
我们可以得到EC是等于EF的
然后他们所夹的角相等
用边角边就可以得这两个三角形全等
从而得到这两个角相等
相等以后就可以得平行了
大家看一下具体的证明过程
证明
因为BE等于CF
所以呢
BE加上EC等于CF加上EC等于的是等式的性质
就可以得到BC等于EF
那么在三角形ACB和三角形DFE中
AC等于DF
这是已知的
角ACB等于角DFE
也是题目给的已知条件
BC等于EF是我们已经证出来的
那么根据这一些
就可以得这两个三角形全等
理由是边角边全等以后
就可以得到对应角相等
然后用同位角相等
两直线平行就可以证出来了
那么现在我们来回顾一下这一节课我们学习了哪些内容
证明角的相等的思考步骤有哪些呢
第一个层次
对顶角相等
角平分线的定义事先都是可以的直接用的
第二个层次
同角的余角相等
或者是同角的补角相等
还有两直线平行
同位角相等
两直线平行内错角相等
利用余角
补角来证或者是平行来证是第二个层次
第三个层次
在同一个三角形中
等边对等角
用等腰三角形的性质来证
或者是全等三角形对应角相等
全等的性质来证
或者用等腰三角形底边上的中线与平分顶角或者底边上的高平分顶角
也就是三线合一来着等边三角形三个内角都相等
并且每一个角都等于六十度
以及在圆里面学的同圆或等圆中
如果弦
弦心距
弧相等
则所对的圆心角相等
平行四边形对角相等
等式的性质与等量代换等等这一些方式来证明两个角相等
好
这一节课我们就学习到这里
再见