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是
同学们大家好
我是卓老师
今天呢
咱们来学习平行线分三角形两边成比例
好
那下面我们来看一下学习目标啊
好 首先呢
第一个咱们需要探究平行线分三角形两边成比例的定理以及它的推论啊
这是我们今天要学的一个重点
第二个呢
就是会应用平行线分三角形两边成比例的定理以及它的一个推论
怎么样呢
去解题对吧
啊
这个解题肯定也很重要
然后第三个啊
就是掌握正比例式的常见方法
并会准确的去应用它啊
这个呢
其实是我们今天的一个难点啊
就是你要去证明这个比例式是不是
好
那下面我们来看一下啊
就是上一节课的内容呢
咱们简单的回忆一下吧
首先
我们上一节课学了一个非常美的东西
什么呀
叫做黄金分割
那它的一个含义是什么呢
叫做点c
把线段AB分成两条线段AC
a和BC
如果AC比上AB等于BC比上AC
那么就称线段AB就是被点c黄金分割
这个好理解是不是
我上节课说了
你一定要注意它的这个说法
就比如说什么被什么黄金分割
这种说法很重要
然后这个点c呢
它有一个名字
叫做线段AB的黄金分割点是不是啊
点c叫做黄金分割点
它是个点嘛
然后AC与AB的比
称为黄金比
你看啊
黄金比啊
这几个关键词记一记
好
那接下来我们知道
黄金分割点
它的意思就是
唉
就是它的这样一个点是不是啊
在这样一个线段上面
它有几个黄金分割点呢
是有两个的是不是
我可以在左边
也可以在右边
好
那接下来就是黄金比
什么叫黄金比呢
就是较长的这样的一个线段对吧
唉
就是原线段呢
它等于什么呀
二分之根号五减去一个一
然后比上一个一
是不是就相当于较长的线段
它是 呃
除以一个圆线段嘛
等于它比上一
就是它就应该等于它
对不对啊
因为它们都是一嘛
好
那这个是我们说到上节课的黄金分割
好
接下来我们看一下这里
平行线分线段成比例
它的一个基本的事实是吧
好
来证明的一个猜想啊
我们可以先猜想一下
它说什么呢
第一个
就直线l一平行于l二平行于l三
那AB呢
是等于BC的
也就是这一个等于这一个
让你证明
d一是等于EF的
让你证证面相等是吧
好
那首先你发现这三条线平行
刚才我们说了
平行线分线段是成比例的是吧
好
这个地方我们可以证明一下啊
他说分别过点d一啊
这一个d
这是一
然后怎么样呢
做DM平行于a
啊 来
我们看一下
做DM平行于这个AA
在哪里呢
这是一个a
这一条线
对不对 哎 好
然后交怎么样呢
l二与这个m点
交这一个与这一个点
你看图
其实更清晰一下啊
好 那紧接着
EN怎么样呢
平行于AEN也是平行于它
然后交l三于点n
交这个于n点
是不是啊
好
然后接下来呢
我们可以得到什么呀
四边形ABMD啊
上面的这个图图形
跟下面的这个BCME啊
这两个应该是什么
平行四边形
这个好理解吧
因为我们知道
平行四边形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
嘛 而这边
它跟它平行
这个是已知条件当中给出来的
这一边等于这边
就是我们做的
是不是啊
所以说啊
它是一个平行四边形
好
那么而有AB等于BC
注意啊
AB是等于什么呀
BC啊
它们俩是相等的
那我们就得到DM是等于
怎么样
EN它应该是等于它的是不是
好
那么e证三角形DME啊
DME这个三角形和ENFENF
这两个应该是什么关系呢
哎
它们俩应该是
呃
全等的一个关系
是不是啊
它们俩是相等吗
好
那么紧接着我们就可以得到
DE是等于EF的
这是对应的一个边
它应该是相等是吧
嗯
好
那我们就得到了平行线等分线段
就是刚才我们知道这里是平行线
它现在 呃
等分了这一边
所以这一边它应该也是相等的
是不是啊 好
所以这里就得到了这样一个证明
好 接下来 呃
对于这种特殊的一种情况
我们看一下啊
如果AB等于BC啊
这个AB比上一个BC哟
这一边比上这边
等于什么呢
三分之二
刚才我们是相等的情况嘛
直接证明
那这边
如果它是一个三分之二的关系
那么AB比上一个BC和DE比上一个EF
是否是相等的呢
哎
你可以大概猜一猜
就假设它们相等嘛
是不是
然后你再进行一个证明
好
那这里我们看一下啊
解它应该是相等的理由如下
如图
怎么样呢
我们分别找出AB的二等分点
注意
AB的二等分点和BC的一个三等分点
过它们
做AD的一个平行线
好
那我们来试一下啊
好
这是二等分点
这个是它的三等分点
然后做了AD的平行线
它全部都是平行的对吧
好
那么接下来
由平行线等分线段
我们可以知道什么呢
DQ等于q一
这边是等于这边的是吧
好
然后等于EN
等于NG
等于GF
这边是不是全部都相等的呀
是的啊 好
那AP呢
是等于PB
这是这边
然后BMM
呃
这个h对吧
HC啊
这边也是等于相等
好
那我们就得到呢
AP加上一个PBAB加上一个PB
上面的这两个是吧
加起来比上下面BM加MH加HC
比上下面的三个
它应该是等于什么呢
它应该是等于右边的这两个除以下面的这三个
是不是也等于三分之二呀
哎 是的啊
这个其实用到的就是刚才我们相等的这种情况对吧
来考虑这种特殊的情况
你发现它也是一样的啊
好
所以我们最后就得到
AB比上一个BC
是等于第一一比上一个EF的是不是啊
好
所以就得证了啊
它们应该是相等的关系
好
那我们再把它推广到一般的一个情况
什么样的呢
哎
证明猜想啊
平行线分线段是成比例的是不是
那证明这个
如果AB比上一个BC
这是AB比上BC
呃
等于n除以m是不是
那么AB比上BC与DE比上EF是否是相等的呢
啊
那么这里如果我先不讲的话
你看看你自己能不能在草稿纸上做清楚啊
自己先想一想
它的思路其实跟我们刚才是不是一样的呀
哎 是的啊
那这里很明显
我们把AB给它等分成n份
然后BC等于分成NM份
是不是啊
然后你再看一下
它们之间应该是相等的啊
好 它说相等
理由如下
我们分别找出AB的n等分点
然后和BC的m等分点
再给它们做AD的一个平行线
啊
这里有n个
然后这个下面是有m个的是吧
嗯
好
然后紧接着呢
这边也是n个
这边也是m个
这个 呃
因为我们做的是平行线嘛
好 那下面呢
我们就可以得到
AB比上一个BC
是等于第一比上一个EF的
这个不需要全部都写出来吧
啊
这个跟我们刚才那种特殊情况也是一样的啊
好
所以我们就得证了
那么最后得到这样一个结论
两条直线被三条平行线所截
那么所得的对应线段是成比例的
只要它是一个平行线所截就可以了啊
那么对应线段一定是成比例的
就是不一定要相等的情况
是不是 嗯 好
下面我们看平行线分线段成比例的一个基本事实
好 那么现在 唉
它给出了这样一个文字叙述啊
我们看一下
它说
两条直线被一组平行线所截
就是两条直线
这是一组平行线
那么这个平行线有多少个呢
不知道啊
一组
那所得的对应线段成比例
比如说这里的AB比上一个BC
那DE比上DC
这一种是不是啊
比上EEF
好
那么简称平行线分线段是成比例的啊
那符号语言是怎么表示的呢
首先我们知道
a平行于b平行于c
这是两三条直线
然后紧接着
这个AB比上一个BC呢
又等于DE比上一个EF
然后AB比上一个AC是等于DE比上一个DF
然后BC呢
比上一个AC是等于EF比上一个d啊e是不是啊
好
所以这里的话
其实点点点还有很多啊
你可以自己去找一找
只要它是对应的这样一个线段
都是成比例的这样一个关系
好 下面 如图
DE平行于BC
啊 这是DE
这是平行于BC
第一个
如果AD比上DB是等于二分之一
看一下啊
AD是这边是不是比上一个DB等于二分之一
它比它等于二分之一
那么怎么样呢
来看一下啊
a一比上一个EC是等于二分之一的
就是这一边跟这一边
它们 呃
比起来也是二分之一
对吧 啊
然后问我们为什么
那它的证明方式跟我们前面应该是一样的啊
那这里我们也不再赘述了
好吧 好
那下面我们就知道
这个AD比上一个DB呢
是等于AE比上一个EC的
可以自己证一下
如图
DE平行于BC
来看一下
这两个是平行的
AD比上一个DB
这个比上这一个是等于什么呢
五分之二
那么是否也有a一比上一个EC等于五分之二呢
是否有呀
是的
为什么呢 哎
证明方式啊
可以也自己写一写
好吧
AD比上个DB等于a一比上一个EC
好
那我们继续来看一下下面这一个
他说平行线分线段成比例定理的一个推论啊
那他说让我们找一找呢
如图二和图三
这里是l三平行于l四平行于l五啊
然后这个是l一
请指出成比例的这样一个线段啊
那在这个图当中
我们知道这三条线是平行的嘛
然后他截的是两条线段
那根据我们前面的结论
我们可以指出很多啊
这里它成比例的线段是不是啊
好 这里的话
你看 呃
可以大概的看一看
然后下面呢
他说让我们进行一个猜想啊
他说平行于三角形一边的直线截其他的两边怎么样呢
或两边的一个延长线
那么所得的这个对应线段是成比例的
也就是像这种图
这种形式是不是啊
是不是成比例的呢
好 那下面呢
我们可以去分析一下这个啊
好
接下来我们证明这一个猜想
如图
在三角形ABC当中
这是把刚才的这个平行线段里面的那个三角形给它抽出来了
是不是
在三角形ABC当中怎么样呢
已知DE平行于BC
就是下面这两条线是平行的
然后接下来让你证明
AD比上一个DBAD比上一个DB
这边比上一个这边是吧
然后等于AE比上一个EC
这边比上这一边
然后以及AD比上这样一个AB
就是这个短的比这个长的
等于右边的这个短的比这一个长的
是不是啊
好
那接下来呢
我们就一起来证明了
那如图
过点a作直线MN
你看
它是不是做做了一条直线了
这条线肯定跟下面的怎么样是平行的
此时使得MN平行于d一
对吧 哎
必须得平行啊
那因为d一平行于BC
那么也就说明
MN平行于d一平行于BC
那是不是相当于这三条线都是平行的对吧
啊
其实它就相当于什么呢
在这个平行线里面啊
把它转换成这里的三角形问题
那么三角形的处理呢
我们也可以放到平行线里面去做
是不是啊
好
那么因此呢
ABAC被一组平行线怎么样啊
呃
这个MNDEBC怎么样呢
这三个平行线啊
给它 呃
所截了是不是
嗯
好
那么则由平行线分线段成比例
我们就可以得到什么呢
AD比上一个DB
等于AE比上一个EC啊
那这个图呢
在上一页啊
可能不太好看是吧
好
接下来是AD比上AB等于AE比上一个AC
这就是根据咱们这个分线段成比例的这样一个结论得到的啊
同时我们还可以得到什么东西呢
就是DB比上AD等于EC比上一个AE
并且有DB比AB等等于EC比上AC
其实就是短的比长的
是不是啊
那么一条件多结论用谁写谁
就是说
你看一下题目
它的具体要求问的是什么
然后你再根据具体的情况
做一个这样一个
呃 解析是吧
啊
归纳总结啊
我们来看一下
它说平行线分线段成比例的一个推论是什么呢
就平行于三角形一边的直线
注意啊
平行于三角形的一边
那么这一边呢
有可能
这一边有可能
这一边有可能
这比如说这里
很明显
平行的是底边是不是啊
一边的直线与其他两个边或其延长线所得的对应线段成比例
也就是说呀
在我们的这个三角形当中
你可以给它补成这样一个平行线啊
这个分线段是不是啊
好
那么第二个
你发现它是在它的一个延长线上面啊
做了这样的一个平行线
然后这个也是在延长线上做了一个BC的一个平行线对吧
啊
那么这里也是成比例的一个关写啊
好
因为DE平行于BC啊
这里都是DE平行于BC
然后紧接着我们就有AD比上一个DB
你看
AD比上一个DB等于AE比上一个EC
注意啊
这里三种图的一个画法都满足这样的一个结论啊
好
这是它的一个推论
然后还有什么呢
AD比上一个AB等于AD比上一个a
比长的比短的
等于什么呢
哎
等于AE比上一个ECAE比上一个EC
长的比短的对吧
啊
它这里的对应线段都是成比例的
并且我们还有BD比上一个这个BD这个长的比上一个AB这一个短的
c一比上AC
这是c一比上一个AC
它也是相等的啊
好
下面根据这个我们来做一做题吧
它说
已知如图
在三角形ABC当中
DE平行于BC
这两个是平行的
然后我们有得到什么呢
AD是等于四
DB是等于三
若怎么样呢
AC等于十
也就是这一段它应该是等于十的对吧
让你求AE和EC的一个长度
请问这个简不简单呀
哎
相当的简单啊
这个
其实我们可以用这个平行线的这个
呃呃
分线段成比例这样一个什么它的这样一个推论来做
是不是在三角形当中啊
它也是这样的一个
呃 条件
这里是它比它等于四比三嘛
所以它比它肯定也是等于四比三是不是啊
好
这时候我们就看一下啊
它解
在三角形ABC当中
这个ABC当中
因为DE平行于BC
它们俩是相平行的
所以AD比上一个DB
是等于AE比上一个EC的是吧
啊 好
然后如果我们假设a一是等于x的话
注意
这里是x
那么EC是不是应该就是四
呃
这里的是十减x对吧
嗯 好
那么下面的话
我们就可以得到三比上一个四
这边比上这边
是不是等于这个x比上
啊
这个三分之四等于十减x分之x
它是对应线段嘛
乘这样的一个比例
最后我们就得到x应该是等于七分之四十啊
XX指的是a一嘛
我们除了求a一
还要求EC的长度
那么EC很明显就应该是七分之三十对吧
哎
相当于把这个十减掉了一个七分之四十
你可以算一算啊
它的结果应该是这么多
那么这样的话
我们就根据啊
它的这样一个推论
把这个结果算出来了啊
好 第二个题
已知 如图
在三角形ABC当中
怎么样呢
DE平行于BC
这两个是平行的
EF平行于ABEFEF这一边平行于这一边是吧
试问
AD比上一个DBAD比上DB
这一个等于BF
找一找啊
找清楚
bf比上一个FC
请问
这边是不是对应的呢
哎 为什么
好
那我们看一下啊
它说
是成立的
理由如下
在三角形ABC当中
因为这一个DE
它是平行于BC的
它们俩是相平行的对不对
所以我们就有AD比上一个DB
是等于AE比上一个EC的
好
那么又因为EF啊
它是平行于AB的
你看一下
EF它是不是平行于AB
是不是
所以我们又可以得到
a一比上一个
呃
EC是等于BF比上一个FC的啊
所以我们又得到什么呢
你发现 哎
在这个里面啊
a一比上ECA一比上EC
它们俩是不是相等的呀
那么此时它是不是跟它应该是相等
那就是AD比上一个DB
看啊
AD比上DB嘛
是不是等于BF比上一个FC呀
那也就是得到了我们题目当中要证的这一块啊
它其实利用了两次
是不是啊
利用了两次
好
下是一个随堂练习
他说 如图呀
已知l一平行于l二平行于l三
这三个是相等的啊
啊 相平行的
然后下列比例式中错误的是什么呢
那我们一个一个来看一下
比如说第一个AC等
呃
比上一个c一
AC比上c一
这个短的
比这个短的后
BB比上DF
你看看一下
它俩是不是是相等的
是的对吧 哎
这个是分阶段的
这个直接定义了是不是
好
第二个就是AC比上a一
AC比上a一
等于BD比上BF
这个也是相等的啊
好 再来
c一比上a一
c一比上a一
等于DF比上DF比上一个BF
也是相等的啊
所以
ABC都是对的
很明显 选谁
选第四个是不是选d啊
那d我们来看一下吧
它说
a一比上BFA一比上一个BF
哎
你发现这个肯定是不行的
它应该是被这个平行线相截对不对啊
然后对应线段才会成比例啊
那a一跟BF的话
它其实是两条这个
呃 直线啊
这个不行啊
BD比上ACBD比上BDBD在哪里
BD比上AC
这个肯定是不行的啊
所以说
这里应该是选择第四个d
好
这里的填空题
他说 如图呀
这个DE平行于BCDE找一找啊
DE平行于BC
它们俩平行了
好
那么接下来他说
AD比上一个AB
等于什么呢
哎 注意啊
已知条件当中
还给了一个a一比上AC
就这一段比上这一段
应该是等于五分之二的是不是
然后下面的这个AD是不是相当于这个比上这一个呀
我没有啊 啊
比上一个AB是不是
所以
根据咱们的这个
呃
平行线分线段
它这个成比例啊
对 注意啊
它的这个相应的这个边
它是成比例的
所以它应该也是五分之二啊
也是五分之二
这个比较简单啊
好
紧接着它说
在三角形ABC当中
怎么样呢
ED平行于ABED
这个是ED平行于AB
然后若AE比上一个ECAE比上EC等于三分之四
那么BD比上一个DC
很明显也是多少呀
三分之四是不是
那BD比上一个BC呢
BD比上一个BC
你想一想啊
我们可以大概的写一写它的比例嘛
你可以假设它有一个值
比如说这里的BD呢
我们假设它是四DC
假设它是三
是可以的对吧
那BD比上一个BC
很明显
BD应该是四
BC的话就是四加三
应该是七
那这个结果是不是应该是七分之四啦
啊
应该是七分之四
好 再来啊
已知DE平行于AB
这两个是平行的
AB是等于十五的
这边是十五
AC是等于九
BD是等于四
这边是四
让你求AE的长度
这不是很明显吗
好
所以我们直接用这个结论就可以求出ACA一的这个长度了啊
好
那么首先呢
我们解看一下
因为DE平行于BC
这两个是平行的
所以此时我们就可以得到AB比上一个BD
等于AC比上一个c一
那这时候我们就可以求出c一的长度了啊
把它分别代进去
这里不要带错了啊
AB的话
十五是不是
BD呢是等于
BD呢是等于四啊
然后这里AC呢
是等于九
然后c一我就可以求出来等于五分之十二了是不是
那c一已经求出来五分之十二
那请问a一的长度好不好求啊
哎
相当好求啊
直接把它们怎么样哎
做一个和就可以了
加起来
那结果应该就是十一又五分十二
你算一算啊
看看结果应该是一样的
好
那么接下来就进入我们今天的课堂小结了啊
好 首先
我们今天学习了平行线分线段成比例啊
好
那首先第一个是基本的事实
对不对啊
这个里面其实最重要的就是咱们这个
嗯 证明啊
确实会稍微复杂那么一点点
其实也还好啊
就是你大概的去理解它是怎么证明的
这个过程
你们自己下课之后还是需要再看一看的好
这里的基本事实
两条线被一组平行线所截
那么所得的对应线段是成比例的
这是这个结论
那么它的推论是什么呢
其实就是在三角形里面进行一个运用
是不是
它说平行于三角形一边的直线与其他两边相交
那么截的对应线段是成比例的啊
它也是平行线分线段的这样一个结论
好 那以上呢
就是我们今天所有的内容啦
同学们
咱们下次课再见