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同学们
这一节课
我们来一起学习二次根式
先了解一下这一节课的学习目标
一
理解二次根式的概念
二
找出二次根式有意义的条件
三
理解二次根式的双重非复性
我们先来回顾一下
什么叫做一个数的平方根
怎么去表示它
一般的
如果一个数的平方等于a
则这个数就叫做a的平方根
那么它可以表示为a的平方根表示为正负根号a
注意
一个数的平方根有正负号的
千万别漏了
什么是一个数的算术平方根呢
如何表示
如果一个数的平方等于a
那么这个数就叫做a的算术平方根
注意
这是一个正数的平方等于a
这个时候
这个正数就叫做a的算术平方根
它可以表示为根号a
根号a 注意
这里只有非负数才有算术平方根
我们看一下
面积为三的正方形的面的边长为根号三
面积为s的正方形的边长为多少呢
根号s
第二一
长方形围栏长是宽的两倍
面积为一百三十
那么它的宽是多少
我们可以设宽为XS乘宽的两倍是二乘s乘s等于一百三十
这样得到s的平方等于六十五
那么开方就可以得到s等于根号六十五
第三小题
h等于五t的平方
则t等于多少
然后两边开方
就得到t的平方等于五分之h
两边开方
t就等于根号五分之h
我们看一下
根号三
根号s
根号六十五
根号五分之h
这些式子有什么共同的特点
它们表示的都是一个正数的算术平方根
大家注意
形如根号AA大于等于零的四字叫做二次根式a叫做被开方数
注意
什么是二次根式
式a大于等于零
说明a是一个非负数
根号a表示的是a的算术平方根
也就是一个非负数的算术平方根
就是一个二次根式
那么这个a呢
称为倍开方数
我们看一下这个定义包含的内容
第一个
必须含有二次根号
第二
被开方数a必须是一个非负数
第三
被开方数可以是一个数
也可以是含有字母的四字
注意了
根号AA大于零
表示的是非负数a的算术平方根
算术平方根它是一个非负数
所以说
二次根式具有双重非负性
注意了
双重非复性是哪恢复呢
第一
被开方数是一个非负数
被开方数是一个非负数
二次根式表示的是一个非负数的算术平方根
那这个算术平方根也是一个非负数
所以呢
二次根式具有双重非负性
大家看一下
下列的式子中
哪些一定是二次根式
第一个
根号五
它是啊
第二
根号三XS
小于三的s小于三
那么三乘s是一个负数
我们说
被开方数不能是负数
所以这不是二次根式
第三个
根号一十四
被开方数是一个负数
它也不是二次根式
第四
根号a加一
被开方数a加一一定是非负数吗
显然不一定
所以第四个也不是二次根式
第五个
根号a减三的差的平方
被开方数是a减三的差的平方
是一个式子的完全平方啊
一个数的完全平方一定是个非负数
所以这是一个二次根式
第六个
根号SY
注意
SY是同号的
同号两数相乘得正啊
被开方数是一个正数
所以这是一个二次根式
第七题
根号s平方加一
s的平方是一个非负数
然后加一以后肯定是一个正数了
所以这个被开方数是一个非负数
所以第七个一定是二次根式
第八个
根号四
被开方数是大于零的
所以它是一个二次根式
第九个
根号
负x平方减一
注意被开方数负x的平方
x的平方最小是零
那么负x
那它就最大为零了
它可能是一个非正数
再减一以后
那它就一定是一个负数
那被开方数是负数
所以这个式子不是二次根式
所以说
通过这一道题
我们注意到
要判断一个式子是不是二次根式
我们要看被开方数一定是非负数
没有一定是非负数
那它就是二次根式
如果被开方数不能保证是非负数
那它就不是二次根式
二是根
是根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零
利用算术平方根的定义填空
根号四的平方等于什么
先看一下这个四字是什么意思
根号四表示的是四的算术平方根
四的算术平方根是二
二的平方显然是等于四的
第二个
零点零一的算术平方根的平方
零点零一的算术平方根是零点一
零点一的平方就是零点零一
第三个
根号
三分之一的平方
它表示是三分之一的算术平方根的平方
那一个数的算术平方根再平方以后
显然就是它了
三分之一根号
零的平方
零的算术平方根是零
零的平方还是零
通过这几个题
大家可以发现什么呢
一个数的算术平方根的平方就等于它本身四的算术平方根的平方是等于四的
零点零一的算术平方根的平方是等于零点零一的三分之一的算术平方根的平方
是三分之一零的算术平方根的平方也是零
所以
任何一个非负数
它的算术平方根的平方都是等于它本身的
也就是a的算术平方根的平方等于a
注意
a是一个非负数
那现在我们来注意一下这两个式子的区别
先弄清楚这两个式子的读法
前面这个式子
是a的算术平方根的平方
后面这个式子呢
是a的平方的算术平方根
注意
我再重复一下
前面这个是a的算术平方根的平方
后面这个是a的平方的算术平方根
顺序不一样
从运算的顺序来看
前面这一个
它是先开方后平方
那么下面这个呢
它是先平方后开方
第二
从取值范围来看
它们也不一样
a的算术平方根的平方
首先
a要有算术平方根
那a一定是一个非负数
a是大于等于零的
那下面这个一个数的平方的算术平方根
那只要保证被开方数大于等于零就可以了
所以
这个a可以是一切的实数
任意的实数
第三
从运算的结果来看
a的算术平方根的平方是等于a的
那a的平方的算术平方根呢
那它是等于a的绝对值的
不一定是等于它本身的
那它是等于什么呢
当a大于等于零的时候
就等于它本身
如果a是小于零的时候
那就等于它的非负数啊
等于它的相反数
当a小于零的时候
a的平方的算术平方根就等于它的相反数负a
大家要区别的清楚这两个式子
好
我们来看一下
用心算一算
根号二十五等于什么
根号二十五表示的是二十五的算术平方根
那显然是等于五的
第二小题
三倍根号二的平方是等于三的平方乘上根号二的平方是等于十八的
第三小题
一减根号二的差的平方的算术平方根
那应该是等于一减根号二的绝对值
那也就是根号二减一了
第四小题
s平方减二SY加y平方
注意
有个条件
s是小于y的
那被开方数可以写成完全平方的形式
s减y的差的平方
先平方再开方
要取绝对值符号是等于s减y的差的绝对值的
因为s小于y
所以最后结果应该是等于y减x
我们思考一下
若m减四的差的平方的算术平方根等于四减m
则m的取值范围是什么
m减四的差的平方的算术平方根
算术平方根等于四减m
那这个算术平方四减m一定是一个非负数
四减m大于等于零
所以得到m是小于等于四的
再看
若AB为实数
根号二减a的差的绝对值加上b减二的算术平方根等于零
求a平方加b平方减二AB加一的值
大家看到这里
前面这个式字含有两个字母
最后要求这个值
怎么做呢
注意到
根号二减a是一个非负数
b减二的差的绝对值
根号b减二也是一个非负数
这两个非负数相加以后等于零
这说明这两个非负数都是零
都是零也就是根号二减a等于零
就可以得到a等于根号二了
b减二的算术平方根等于零
说明b等于二
然后代进来计算就可以了
我们看一下
因为根号二减a的绝对值大于等于零
根号b减二大于等于零
而这两个相加又等于零
所以它们分别为零
就可以算出a等于根号二
b等于二
那么把这两个数的值带进原来的式子里面
就可以算出结果为三
大家再看一下下面的题
已知根号负的a分之一有意义
那么点AA的横坐标是a负
纵坐标是根号负a
在什么象限
先注意一下这个有意义
也就是这个被开方数是大于等于零的
负的a分之一大于等于零
说明了a是小于零的
a小于零负a就是一个正数
正数的算术平方根是正的
负正说明这一个点是在第二象限的
第二小题
已知y等于根号二减x加根号x减二加五
则s分之y等于多少
那这里呢
怎么算呢
我们看到这里有个根号二减x
根号x减二
它们的倍开方数分别是二减SX减二
互为相反数的
那么我们知道被开方数要大于等于零
二减x要大于等于零
s减二也要大于等于零
那么可以发现
s刚好就等于二
s等于二的时候
前面是零
后面是零
零加零等于五
得到y等于五
这样s等于二
y等于五这一道题就可以解出来了
所以s分之y是等于二分之五的
我们再来看一题
实数p在数轴上的位置如图所示
化简根号一减p的差的平方的算术平方根加上二减p的算术平方根的平方
我们结合数轴看一下
点p是在一二之间的
也就是一点几
一点几一小于p的一减p的差的平方等于什么呢
等于一减p的绝对值
就是p减一了二减p的差的算术平方根的平方
注意
前面是平方的算术平方根
后面是算术平方根的平方
算术平方根的平方就是等于它本身的
就是二减p
所以这两个相加以后
p和负p约掉以后
一加负一加二就等于一
看一下具体的过程
在实数范围围内分解因式四x的平方减三
我们知道四x的平方可以写成二x的积的平方
三在实数范围内的话
三可以写成根号三的平方
三的算术平方根的平方
那么它们相减就可以用平方差公式来计算了
因为三等于根号三的平方
所以四x平方减三就等于二s的积的平方减去根号三的平方
用平方差公式就可以分解为这一个下列式子
根号二x加六加上根号负二s分之一中字母s的取值范围是什么
那么这些是根式
首先被开方数二s加六要大于等于零
后面根号负二s分之一
负二s要大于本来是可以等于零的
但是这整个根号是做分母
它不能等于零
所以负二s只能大于零
不能等于零
通过这两个
我们就可以算出a的取值范围
二s加六大于等于零
负二s大于零
从而得到s大于等于负三s小于一
就是在这个范围之内
好
现在我们来看一下这一节课学习了哪些内容
一个是学习了二次根式的定义
形如根号AA大于等于零的式子叫做二次根式
用语言来叙述的是
一个非负数的算术平方根就是二次根式了
二次根式具有什么性质呢
具有双重非复性
一个
被开方数是一个非复数
第二
二次根式是一个非复数
它表示的是一个非负数的算术平方根
所以是一个非负数
第二
一个一个数的算术平方根的平方是等于它本身的另外一个数的平方的算术平方根是等于它的绝对值的
那也就是当a大于等于零的时候
等于它本身
当a小于零的时候
是等于它的相反数的
同学们
这一节课我们就学习到这里
再见