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同学们好
我是刘老师
今天我们一起来学习实践与探索
这节课的学习目标
一会用一元二次方程解决简单的实际问题
二
体会方程在现实生活中的具体应用
看实际问题
问题一
学校生物小组有一块长三十二米
宽二十米的矩形试验田
为了管理方便
准备沿平行于两边的方向纵横各开闭一条等宽的小道
啊
有时候我们审题的时候
这个题眼要要看清楚
要使植植面积五百四四平方米米
小道的宽应是多少
分析问题中没有明确小道在试验田中的位置
试作出图
不难发现
小稻的占地面积与位置无关
好 你看
我们是这样的两个位置
你如果说把这横向的小道向下移
把这竖向的向右移也可以
向上移也可以
所以这句话尤其重要
不难发现小道的占地面积与位置无关
好
我可以把这两条小道都移到什么样啊
最靠边的位置
解
设小道宽为x 米
则两条小道的面积分别为三十二x 平方米和二十x 平方米
好
其中重叠部分小正方形的面积
你看这是xx
所以它的面积是x 平方
根据题意
我们这里面你要看一下是整大矩形的面积减去小刀的面积
剩下的就是种植的面积哈
那么这样的话
我们可以来看一下
算得是x 平方减五十二
X 加一百等于零
你这一个位置可以用因式分解
把左边因式分解
把一百给它拆开
它就可以变成是负二和负五十
所以就变成x 减二乘以x 减五十等于零
好
就一元二次方程来说
它有两个实数根
但就实际情况来说
X 是不能为五十的
它为五十就不符合题意的
看到没有
你看长为三十二
这个宽为二十是不是
所以我们这里x 只能等于二
答小刀的宽也是二米
好
这是一个方法
还有另一个方法就是说我们刚才不是提到了吗
它这里面小道的面面积跟我们的这个位置无关
你把纵向的这条小道移到最边上
然后把横向的小道移到最上面
那么剩下的全部都是种植面积
好
你可以看一下
这个是二十
这是x
所以这一条就是二十减x
这一条就是三十二减x
所以你看一下
我们这一个种植面积是一个矩形
那么矩形它的面积
你看三十二减x 乘以二十减x 直接等于五百四十
这也是我们列方程的一个依据
如果设想把小道平移移到两边
如图所示
小道所占面积是否保持不变
哎
它这个是保持不变
在这样的设想下
所列方程是否符合题目要求呢
处理问题是否方便
那这个肯定要方便一些
看到没有
我们把这两条小道横向的移到上端
然后纵向的移到右边
那么这时候你看一下它中间的这个纵植面积就是什么样啊
一个矩形的面积
哎
也就是刚才我们分析的长乘以宽啊
列出这个方程等于五百四十
再把它拆开一样的解得x 一等于二
X 二等于五十
然后同样的
我们五十要舍去
小道的宽应该是二米
在应用一元二次方程解决实际问题时
与应用一元一次方程一样
要注意分析题意
抓住等量关系
列出方程
把实际问题转化为数学问题来解决
求得方程的根之后
要注意检验是否符合题意
那也就是双重检验
一方面要检验我们这里面方程的根是否是符合方程
另外一方面要检验我们最后的根是否符合题意
最后得到实际问题的解答
列一元二次方程
解应用题的步骤一
审题
明确已知条件和未知条件以及它们之间的关系
二
找等量关系
明确题目中的等量关系
三 设未知数
用字母表示未知数
可以直接设未知数
也可以间接设未知数
一般要代单位
直接设未数数是什么意思
问什么设什么
间接设未知数是什么
你问的要求我们的这里面积
你结果是设的其他的最后你再转化成要求的结果
这叫间接设未知数
是列方程哈
根据等量关系列方程
方程两面单位要统一
五 解方程
这个就是用数学方法解决我们数学问题
选择恰当的方法解方程
六 检验
刚才所说的双重检验
七 作答 作答
它实际上是把我们数学的答案要回归到实际问题中
所以也就是说
作答它是必不可少的一步
写出题目最终的答案
注意代上单位
问题二
某药品经过两次降价
每瓶零售价由五十六元降为三十一点五元
已知两次降价的百分率相同
求每次降价的百分率
而这是一个模型分析
若每次降价的百分率为x
则第一次降价后零售价为原来的一减x 倍
即五十六乘一减x 元
好
第二次降价也是第一次降价后的一减x 倍
那也就是五十六乘一减x 再乘一减x
所以这里面你来看一下每次降价的百分率为x
根据题意得五十六乘以括号一减x 的平方等于三十一点五
好
这个把五十六把它移过来
三十一点五除以五十六
那么这时候你可以看一下零点我们这里是五
就是二八零
然后它这个位置是三五
好
这里面能够上的是六
这个是多少啊
三三六
然后十四这里面是二
这个是一一二二八零五
所以它这个是零点五五六二五
零点五六二五
你要知道它是哪个的平方
好
那么解得x 一是零点二五
X 二是一点七五
如果x 二是一点七五的话
那么它这里就不是降价的哎
因为降价的百分率不可能大于一
所以x 等于一点七五不符合题意
你降价的百分率我22
如果大于一
它这里面就什么样啊
还要亏本倒贴送出去
所以x 二等于一点七五是不符合题意的
那么经检验
X 等于零点二五就是百分之二十五
符合本题要求作答
每次降价的百分率为百分之二十五
问题三
小明把一张边长为十厘米的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形
再折叠成一个无盖的长方体盒子
看到啊 无盖
那么这里就是四周加一个底面
如图 第一问
如果要求长方体的底面积为八十一平方厘米
那么减去的正方形的边长是多少
它的底面积实际上你看一下
是我们是这一个
它也是一个什么图形呢
它也是一个正方形
好
你这里面把它设为x
它为x
所以这剩下的是十减二x
好 十减二x
它这个位置括号的平方等于八十一
实际上
十减二x 等于九二x 等于一x 等于零点五
好
因为你这里面如果十减二x 等于负九的话
那这个位置就不对了
我们这条边不可能为负数
所以x 二等于二分之十九要把它舍去
不符合题意
作答
减去的正方形边长为二分之一厘米
第二问
如果按下表列出的长方体底面积的数据要求
那么减去的正方形边长会发生怎样的变化
折叠成长方体的侧面积又会发生怎样的变化
现在下面的表格中记录下你得到的数据
第一行
折叠成长方体底面积
那么也就是下面这一个什么样啊
正方形的面积减去的正方形边长
你看底面积为八十一
那么也就是十减二x 就等于九二x 等于一x 是等于零点五
如果十减二x 是等于多少啊
八
那这里面也可以求出来
好
第三行是折叠成长方体的侧面积
侧面积是什么样的形式啊
它是我们四个长方形的面积
你看我们这里面是零点五
然后这一个是九九乘以零点五
这里是四点五
四点五乘以四是十八
所以这个是十八
当我们底面积为六十四
那也就是底面边长是为八
那减去的就是多少啊
这2人你想一下
就是二
所以两个正方形的边长为二
减去的正方形它这个边长为一
好
然后这一个呢
它实际上也来算十减二x
然后我们乘以x 再乘以四
你把这里x 等于一代入八乘以一乘以四三十二
底面积是四十九
四十九是七的平方
所以那么这个位置十减二x 等于七二x 等于三x 等于一点五
然后这里面你带进去七乘以多少
一点五乘以四
七乘以六
这个是四十二
好 以此类推
都是平方数
那么它这里是二
下面是四十八
二十五
它这二点五下面是五十十六这是三
这下面四十八
然后九这个位置三点五这里是四十二
四这里是四
然后这个位置是三十二
唉
这时候我们发现了
你看这个是三十二
然后这个是四十二
这个是四十八
这是不是巧合呢
你看一下它是有什么样的啊
这里面你看一下没有意有探索
第一问
在你观察到的变化中
你感到折叠而成的长方体的侧面积会不会有最大值
你看它侧面积是先上升最大降
所以好像在五十这个位置是达到最大值
当减去的正方形的边长为二点五厘米时
它这里面的侧面积最大为五十平方厘米
第二问
以减去的正方形的边长为自变量
折叠成的长方形侧面积为它的函数
在平面直角坐标系内画出相应的点
我们刚才所说的
它这里面折叠成的长方形是有四个
这是十减二x
这是x
所以它这个侧面积是四乘以十减二x 乘以x
结果是负八x 方加上四十x
那么它是关于x 的二次函数
你通过描点把它描出来
好
折叠成的长方体侧面积先是随着减去的正方形的边长增大而增大
然后随之变小
当减去的正方形的边长为二点五厘米时
折叠成的长方形侧面积最大是为五十平方厘米
就是把它代入了这个式子中
问题是某工厂计划在两年后实现产值翻一番
什么叫翻一番
那么这两年中产值的平均年增长率应为多少
你看一翻一翻你是怎么理解的
即为原产值的二倍
若设原产值为一个单位
那么两年后的产值就是二个单位
好 二
平均年增长率你是怎么理解的
平均年增长率指的是每一年产值增长的百分数是一个相同的值
即每年按同样的百分数增加
设平均年增长率应为x
有题意得一加x 括号的平方等于二
好
那么这里一加x 等于正负根号二
解得x 一是根号二减一
增二是负根号二减一
好
这个很显然是不符合题意的
增长率是不能为负
为负它不叫增长
它就应该是降低的
所以x 是等于根号二减一近似等于零点四一四
化成百分数就是百分之四十一点四
答
这两年中产值的平均年增长率百分之四十一点四
探索
第一问
如果调整计划
两年后的产值为原产值的一点五倍
一点二倍
那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少
好
这时候我们可以来看一下它
这里面翻一翻就换了
这里就学会了
是举一反三
翻一翻就变成原来的是多少啊
二倍
它现在变为原来的一点五倍
变为原来的一点二倍
所以我们把它进行总结
举一反三就建立增长率模型
你看增长率模型它是什么样啊
若两年后的产值为原产值的一点五倍
那么立方程就是一加x 括号的平方一点五倍
它就等于一点五
翻一翻就等于二
然后一点二倍这里就等于一点二
解方程x 一是近似等于百分之二十二点五
X 二是一个负值
所以要把它舍去
好
那么如果是一点二倍
也是可以套用这个模型
一加x 括号的平方等于一点二
那么一个是百分之九点五
一个是要舍去
作答
那么是要使得原产值为一点五倍
增长率是百分之二十二点五
要使得原产值的一点二倍增长率是百分之九点五
所以像我们这里面
增长率模型就变成了是一加x 括号的平方等于多少
这前面是a
后面是ba
表示的是两年前它的产值
B 是两年后它的产值
第二问
又如果第二年的增长率为第一年的二倍
唉
这时候发现了没有
我们的增长率发生了变化
那么第一年的增长率为多少时
可以实现两年后产值翻一番
你看一下
第一年的增长率为x
所以到了年底它就变成了一加x
然后第二年的增长率是第一年的二倍
它就是二x
所以它应该乘以以加二x 开始解得x 一是百分之二十八点一
X 二是负值
把它舍去
作答
第一年增长率为百分之二十八点一时
可以实现两年后的产值翻一番
这是在我们第二年的增长率是第一年增长率的二倍的基础上
解决增长率与降低率问题的公式
这是建立我们的模型
A 是表示原始数据
B 是表示的经过n 个周期之后它的数据
其中a 是原有量
X 是平均增长率或者是平均降低率
如果是增长的话
这里是加
如果是降低的话
这个位置是减
N 为增长或降低的次数
常见n 等于二
B 为增长或降低后的现有量
这节课我们一起学的一元二次方程的实践与探索
带着这些知识一起来挑战一下今天的题目吧
随来练习
第一题
某超市一月份的营业额为四十万元
一月 二月
三月的营业额共二百万元
记住的是三个月的营业额共二百万元
而不是只有第三月
如果平均每月增长率为x
那么你看一月份
我们这里是知道二月在一月的之基础上增长了x
然后三月在我们二月的基础上再增长
所以四十乘以一加x 括号的平方
结果这里是等于二百
好
那么这时候你可以看一下
是三个月的总营业额等于二百
所以这题应该是选d 选项
第二题
物美商场于今年年初以每件二十五元的进价购进一批商品
当商品售价为四十元时
一月份销售二百五十六件
二 三月
该商品十分畅销
销售量持续走高
在售价不变的基础上
三月底的销售量达到四百件
设二二三这两个月月平均增长率不变
第一问
求二三这两个月的月平均增长率
好
那么这时候你可以看一下
你把它的月平均增长率设为x
怎么找等量关系呢
三月底的销售量达到四百件
别开了
那你可以看一下
我们这里面就应该是二百五十六是一月份的
然后乘以一加x 括号的平方
因为是经过了两个月
最后等于四百
这个就是增长率模型
好
那么这里面一加x 括号的平方等于二百五十六分之四百
好
一加x 等于正负十十六分之二十
那么这里是正负四分之五
X 一个等于四分之一
好
X 一个是等于负的四分之九
那么负的四分之九肯定是要舍去的
作答
二 三
这两个月的月平均增长率为百分之二十五
第二问
四月份商场决定降价促销
经调查发现
该商品每降价一元
销售量增加五件
当商品降价多少元时
商场获利四千二百五十元
每降价一元增加五件销售量
那么这时候我们如果是降价两元就增加十件
降价十元就增加五十件
所以这时候设未知数的话
你这个位置应该是设商品降价多少元
2 2
设当商品降价m 元时
商品获利四千二百五十元
好
那么根据题意
你看
我们成本是二十五
你在四十的基础上降价m
所以实际售价是四十减m
再减去成本二十五
这一个括号内是单件的利润
然后四百加五m
这是实际的销售量
所以等于四千二百五十
这个好解
解之得一个是五
一个是负七十
那么负七十肯定要舍去
当商品降价五元时
商品获利四千二百五十元
第三题
某种电脑病毒传播非常快
如果一台电脑被感染
经过两轮感染后
就会有八十一台电脑被感染
这时候要强调一点
两轮感染是什么意思
这是我们一个传染的这个模型
你这里面一台电脑
它第一轮中它是作为这个什么病毒体
那么第二轮它同样的是作为病毒体
请你用学过的知识分析
每轮感染中
平均一台电脑会感染几台电脑
若病毒得不到有效控制
三轮感染后
被感染的电脑会不会超过七百台
设每轮感染平均每一台电脑会感染x 台电脑
好
那么你开始
这是病毒体第一轮新增了x 台这个病毒体
然后我们一共是有一家x 台是病毒体
他们又第二轮感染了x
每一台电脑感染x
所以x 乘以括号一加x
实际上我们可以把它整理是一加x 括号的平方等于八十一
这是一个模型
经过了两轮感染
那么就是一加x 的平方
如果经过了三轮感染
那么就是一加x 的三次方
一加x 的平方等于八十一
一加x 等于正负九
X 加一等于九
那x 等于八
X 加一等于负九
X 等于负十八和负十
你看负十是不符合题意
舍去第三人被感染的电脑数为
我们这时候应该是什么样啊
八十一台是作为病毒体
它乘以八新增加的就是六百四十八台
然后我们这时候加上原来的八十一
一共是七百二十九
七百二十九肯定就是大于七百
所以作答
每轮感染中
平均每一台电脑会感染八台电脑
如果不加以限制
三人感染后被感染的电脑会超过七百台
你这里再进行下一步的话
那么这里面会越来越多
第四题
根据下面的统计图
求从二零一三年到二零一五年
我国风电新增装机容量的平均年增长率
精确到百分之零点一
好 你看一下
二零一三
二零一四
二零一五
从一千六百九十到了三千零七十五
那么这时候根据我们增长率模型
一千六百九十乘以括号一加x
它的平方等于三千零七十五
好解
知得x 一是计是等于百分之三十四点九
X 二是父子
要把它舍去
作答
从二零一三年到二零一五年
我国风电新增装机容量的平均年增长率约为百分之三十四点九
我们这节课学习的是实践与探索
换句话说就是利用一元二次方程这个数学知识来解决实际问题
一列一元二次方程解应用题的步骤一
审题
二
找等量关系
三 设未知数
设列方程五
解方程六
检验 七 作答
二
我们这里面总结归纳一这里面是面积问题
体积问题
那么就是用我们所学习的几何知识
利用面积体积公式找等量关系
三
增长率问题
那么增长率这里是增长量除以原有量乘以百分之百
好
原有量乘以这里是一加增长率括号它这里平方是等于现有量
这是增长率的模型
那么如果是降低率的话
这个后面就应该是减号
好
这是我们这个位置
好
我们的传染问题跟它一样的啊
传染问题跟它这里面也是可以归纳到这个增长率的情形
所以这时候你要看到我们把实际生活中它出现的问题
你用数学知识来解答
你这里把它这里归类总结
建立数学模型
同一类型的模模型解决相关的问题
好的 同学们
我们今天这节课就学到这里
同学们再见