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同学们好
我是罗老师
今天我们一起来学习勾股定理的利益定理
这节课的学习目标一
掌握勾股定理的利益定理
并会用它判断一个三角形是不是直角三角
二
通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状
我们知道直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
反过来
如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方
那么这个三角形是直角三角形吗
如图
在三角形ABC中
a的平方加b的平方等于c方
三角形ABC是否为直角三角形
可以用如下方法证明
三角形ABC是直角三角形
画RT三角形
a撇b撇c撇
使角c撇等于九十度
然后b撇c撇等于AA撇c撇等于b
好
那么根据勾股定理可得
a撇b撇的平方等于a的平方加b的平方
又有已知条件
a的平方加b的平方又等于c的平方
所以我们就可以知道
a撇b撇的平方等于AB的平方
那么a撇b撇就和AB相等
这样的话
我们两个三角形边边边对应相等
所以这两个三角形全等
这两个三角形全等的话
那么对应角相等
角c就等于角c撇
所以我们这两个三角形都为直角三角形
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长分别为ABC
且a方加b方等于c方指的是较短的两条边直角平方和等于较长的那条边的平方
那么这个三角形是直角三角形
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理
即
已知三角形的三边长
且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方
即可判断此三角形为直角三角形
最长边所对角为直角
魔搭
勾股数
满足关系a的平方加b的平方等于c的平方的三个正整数ABC称为勾股数
常见的勾股数一
三四五
就是三的平方加四的平方等于五的平方
二五十
二十三
五的平方加十二的平方等于十三的平方
三六八
十六的平方加八的平方等于十的平方
是七
二十四
二十五
就是七的平方加二十四的平方等于二十五的平方
五八十
五十七
八的平方加十五的平方等于十七的平方
六九四十
四十一
九的平方加四十的平方等于四十一的平方
七十
二十四
二十六
十的平方加二十四的平方等于二十六的平方
八十一
六十六十一
就十一的平方加六十的平方等于六十一的平方
好
常见的勾股数
我们这时候还要观察第三组和第一组的关系
六是等于三乘以二
好
然后这里面八等于四乘以二
十等于五乘以二
好
那么这时候你可以来看一下
也就是说
六 八 十
相对的每条边都是三四五
它每条边的二倍
那么像这样的都能够形成勾股数
比如说如果都是三倍的话
就是九
十二十五
看
这也是形成了一组勾股数
好
那如果都是四倍的话
就是十
二十六
二十
它也能够形成勾股数
好
然后再观察一下第七组和第二组
也是同样的关系
十是五的二倍
二十四是十二的二倍
二十六是十三的二倍
所以我们像这样的满足关系a的平方加b的平方等于c的平方的三个正整数ABC才称为勾股数
好
那么像我们这里面
一一根号二
它满足一的平方加一的平方等于根号二括号的平方
但是因为根号二它不是正整数
所以e它不能叫做是勾股术
勾股数拓展性质
如果ABC为一组勾股数
那么n倍的AN倍的BN倍的c也是一组勾股数
其中n大于等于一为正整数
就像六 八 十九
十二十五
十二 十六 二十
它是和我们这里三
四
五是有相关的
所以它也是勾股数
下列各组数是勾股数吗
为什么
第一个十二
十五 十八
你看一下
我们这里面十二的平方加十五的平方
一百四十四加上二百二十五
结果是多少啊
看一下
三百六十九
而十八的平方是三百二十四
所以第一组它并不是勾股数
第二组
刚才我们验算了
它这里是勾股数
拜个第三组
十五
三十六
三十九
我们会发现
十五是五的三倍
三十六是十二的三倍
三十九是十三的三倍
所以根据我们五十二十三是勾股数
那么十五
三十六
三十九
它也是勾股数
第四问
十二 三十五
三十六
你这里验算一下
我们十二的平方加上三十五的平方
十二的平方是一百四十四
三十五的平方
你看
三十五乘以三十五
这是一七五
然后我们这里是一零五
所以结果是一
二二五加起来是多少呢
你看这里是九六三一
三六九
它是否为三十六的平方
我们三十六啊
六六三十六
所以它肯定不可能是三十六的平方
这样它就不是勾股数
下列各线段中
哪些可以组成直角三角形
你满足我们的勾股定理的逆定理
那么它就可以判断它是直角三角形
一五十三十二
这个是肯定可以的
二四五七
四的平方加五的平方
就是十六加二十五等于四十一
它不等于七的平方
所以第二个它不能组成直角三角形
第三个
三AC五a
那么这里根据三十五是个股数
第三个可以
第四个
九是二十五
九是三的三倍
十二是四的三倍
十五是五的三倍
所以这两个都行啊
然后第五个
零点三
零点四
零点五
零点三是四乘以零点一
零点四是四乘以零点一
零点五十五乘以零点一
所以它也是形成了三比四比五
所以
那么这个也可以构成是直角三角形
只不过像我们第三个
第四个
它叫做是勾股数
而第五个
它不能叫做勾股数
美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块编号为普灵顿三二二的古巴比伦尼板
泥板上的一些神秘符号揭示了什么奥秘呢
经过专家的潜心研究发现这块泥板文书实际上是一张表格
表格的一些整数计算考证表明
表格中的两列数字恰好分别是直角三角形的斜边和一条直角边的长
运用勾股定理算的另一条直角边的长
图中左边的一列既然也是整数
图中的数组都是勾股数
现在人们通过研究发现
勾股数有无数组
这节课我们一起学的勾股定理的逆定理
带着这些知识
一起来挑战一下今天的题目吧
虽来练习第一题
下列各组数中
不能作为直角三角形的三边长是三四五是肯定可以的
六八十肯定可以
五十二十三是肯定可以
四五六不行
四的平方加五的平方等于十六加二十五等于四十一
它不等于六的平方
所以四五
六不能作为直角三角形的三边长
第二题
若三角形ABC的两边长为八和十五
则能使三角形ABC为直角三角形的第三边的平方
它并没有说八和十五是两条直角边
还是一条直角边一条斜边
所以这个地方要分类讨论
若八和十五视为两条直角边
那么第三边斜边的平方是八的平方加十五的平方
六十四加二百二十五就等于二百八十九
好
然后如果说是较长的那条边十五
它是斜边的话
那么是八的平方加x的平方等于十五的平方
x的平方就是二百二十五减六十四
结果是一百六十一
所以这题应该是选d选项
有两种情况要考虑清楚
第三题
有四个三角形分别满足下列条件
一
其中一个内角等于另外两个内角之和
二
三个内角之比为三比四比五
三三边之比为三比四比五
四三边长分别为五
二十四
二十五
其中直角三角形有几个
第一个
一个内角等于另外两个内角之和
我们知道角a加角b加角c等于一百八十度角a
那么这里可以推出是二倍的角a等于一百八十度
角a就等于九十度
有一个角为九十度
所以它肯定是直角三角形
然后第二问
三个内角之比是三比四比五
它一共分成了是十二份
所以是三x加四x加五x等于一百八十度
十二x等于一百八十度
x等于十五度
那么这样的话
它是四十五度
六十度
七十五度
三个角均为锐角
所以它是一个锐角三角形
第二个
不对 第三个
三边之比为三比四比五
这样它满足勾股定理
它肯定是直角三角形
第四个
三边长分别为五
二十四
二十五
你看一下
五的平方加二十四的平方
二十五加五百七十六
结果是多少呢
算的是六百零一
六百零一它不等于二十五的平方
因为二十五的平方是六百二十五
所以这个也不满足条件
那么这样的话
一和三能够判断它是直角三角形
它就有两个
第四题
下面以ABC为边长的三角形是不是直角三角形
如果是
那么哪一个角是直角
你看一
a等于二十五
b等于二十
c等于十五
我们看一下
hello
较短的两条边的平方和是否等于较长的
那么就是二十的平方加十五的平方
就是四百加上二百二十五等于六百二十五
六百二十五刚好就是二十五的平方
所以这个是直角三角形
然后较长的边是斜边
a等于二十五
那么这样它所对的角
角a就等于九十度
根据勾股定理的力地理
这个三角形是直角三角形
且角a是直角
第二问
a等于十三
b等于十四
c等于十五
那么这里十三的平方加十四的平方
就是一百六十九加一百九十六
然后他算的结果是三六五
这个不等于十五的平方
所以它肯定不是直角三角形啊
不符合勾股定理的逆定理
所以这个三角形不是直角三角形
第三问
a比b比c等于三比四比五
那么这个满足勾股数
所以它肯定是直角三角形
而且c为最长边
所以角c为直角
根据勾股定理的逆定理
这个三角形是直角三角形
且角c是直角
第五题
某校有一块四边形空地ABCD
现计划在该空地上种草坪
检测角a等于九十度
AB等于三
BC等于十二
CD等于十三米
DA等于四米
若每平方米草皮需一百元
问
需投入多少元
那么你这里把BD连接起来
它就分成了两个三角形
三角形ABD
它是直角三角形
根据勾三股四
可以把斜边BD求出来
是五米
然后再用我们的什么样啊
勾股定理的逆定理就可以知道三角形BCD它是一个什么直角三角形
因为五的平方加十二的平方等于十三的平方
所以这也是一个直角三角形
这两个直角三角形它的面积好来计算
你看
它的面积是二分之一乘三乘以四
然后这个面积是二分之一乘以五乘以十二
所以三乘以四除以二加上五乘以十二除以二
结果就是多少啊
你看一下
这个算的是六
而这个算的是三十
三十加六就是三十六
所以一百乘以三十六是等于三千六百元
问
投入多少元
作答
需投入三千六百元
我们这节课学习的是勾股定理的逆定理
如果说勾股定理是知道直角三角形中直角边和斜边它们之间的关系
那么勾股定理的逆定理是用来判断这个三角形它是直角三角形
是根据我们什么这个三角形里面两条较短边的平方和等于最长边的平方
从而判定这个三角形是直角三角形
勾股数满足关系a的平方加b的平方等于c的平方的三个正整数ABC称为勾股数
我们还发现的勾股数是有无数组的
只要满足a的平方加b的平方等于c的平方三个正整数
那么它这里面就称为勾股数
像我们零点三
零点四
零点五
它满足a的平方加b的平方等于c的平方
但这三个数它不能称为勾股数
大家下去之后可以自己写一下
我们来看一下你写的三个数
它能否成为勾股数
你就看一下最短的两边的平方和是否等于最长边的平方
好的 同学们
我们今天这节课就学到这里
同学们再见